Но существуют поверхности, которые являются внутренне особенностями, обладающие особенностями, которые не вызваны выбором координат. Пример ниже: коническая особенность.
Литье, как оно было сформулировано в 1917 году Шварцшильдом в координатах t, r, q, j (время, радиальное расстояние и два угла, эквивалентных азимуту и местоположению: "сферические" координаты), сфера Шварцшильда является особенной. Для определенного значения Rs радиальной "координаты" r (предположительно измеряемой от "геометрического центра") эта метрика ведет себя очень странно. На этой сфере один из членов имеет нулевой знаменатель. Короче говоря, она особенна на этой сфере. Была ли это внутренняя особенность или артефакт, вызванный плохим выбором координат? Это вопрос, который мы задали себе.
Обратите внимание, что "геометрия Шварцшильда" представляет собой гиперповерхность с четырьмя измерениями, что делает вещь еще более сложной.
Крускал сосредоточился на этом моменте. Он создал изменение координат, которое, между прочим, обеспечивает постоянную скорость света вдоль радиальной траектории. Таким образом, он фокусирует особенность "в центре объекта", в "центральной особенности". Психологически, кажется, что мы выигрываем. Решение становится "почти везде регулярным", выражение, которое математики используют, чтобы сказать, что решение регулярно, свободно от патологии, за исключением одного единственного пункта.
- Вы не будете придираться, не будете спорить из-за одного единственного пункта...
К сожалению, эта формулировка Крускала имеет серьезный недостаток: она не возвращает пространство специальной теории относительности на бесконечности. Технически, она не является лоренцевой на бесконечности, "асимптотически лоренцевой".
Это важный вопрос в физике: существуют ли особенности? Допускает ли природа особенности? Ответ формулируется в терминах веры (как и для существования или несуществования бесконечности, впрочем).
Мы искали новую интерпретацию той же геометрии Шварцшильда, пытаясь устранить любую особенность, и мы этого достигли. Наш ответ, следовательно:
- Особенность решения Шварцшильда просто вызвана плохим выбором координат.
Технически, все основывается на изменении переменной:
r = Rs + Log ch r
что читается как "r равно Rs плюс логарифм гиперболического косинуса переменной r". Просто для ученого, специалиста или просто таупина. Для того, кто умеет обращаться с этой формулой, величина r больше не может быть меньше Rs, даже если r принимает все возможные значения от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Рассмотрим поверхность, полученную вращением параболы вокруг прямой, как показано ниже:
Эта фигура взята из статьи. Поверхность бесконечна, на самом деле, как и парабола-меридиан, которая ее порождает, вращаясь вокруг оси z. Если настаиваете на представлении этой поверхности с координатами (r, z, j), можно ожидать неприятностей, когда спросите "как выглядит эта поверхность при r < Rs?".
Вы найдете ответ... мнимый, с корнями отрицательных величин. Просто потому, что тогда вы находитесь "вне поверхности".
Эта поверхность, в математике, называется "неодносвязной", термин, который означает просто поверхности, где любая замкнутая кривая не может уменьшить свой периметр, скользя по поверхности, до нуля.
Это возможно на сфере, которая "односвязна". Но на этой поверхности видно, что любая замкнутая кривая, которая "делает круг вокруг этого вида центрального колодца", не сможет уменьшить свой периметр до нуля, пределом является периметр "горлового круга". То же самое для тора, который также "неодносвязен".
Мы определили такую поверхность, исходя из ее метрики, что хорошо иллюстрирует нашу мысль. Сохраняя координату r, эта поверхность кажется особенной. Используя приведенное выше изменение переменной, она уже не является особенной. Что такое эта координата r? Она просто "протягивается" вдоль меридиональной параболы, как показано на рисунке, принимая значение ноль на горловом круге. Половина поверхности соответствует положительному r, другая — отрицательному r. В системе координат [r, j] больше нет особенностей.
Мы решили назвать такой объект "торовым мостом", по аналогии с тором.
Но легко показать, исходя из метрик, что можно перейти к объекту, к 3D-гиперповерхности, которая содержит "гипертороидальный мост". Тогда вместо одного горлового круга будет горловая сфера. Как и для вышеуказанной поверхности, горловая сфера соединяет два "полупространства 3D". Когда вы находитесь в одном из этих полупространств 3D и погружаетесь в горловую сферу, вы выходите в другое полупространство.
Вернемся к 2D-поверхности, показанной выше. Следующий рисунок показывает, что, рисуя "концентрические окружности", мы видим, что их периметр уменьшается, проходит через минимум, а затем снова увеличивается.
В 3D нужно представить сферу, полностью окружающую горловую сферу. Затем другую, внутри нее (следует сказать "за" в определенном направлении, к горловой сфере). Представьте, что площадь поверхности этой сферы может быть меньше. Но, когда вы достигаете горловой сферы, площадь проходит через минимум, а затем снова начинает расти... до бесконечности, если продолжить операцию.
Мы построили "метрики" этих 2D- и 3D-поверхностей, содержащих "торовый проход" и "гипертороидальный проход", и, в последнем случае, мы были поражены сходством с метрикой Шварцшильда, где мы, следовательно, произвели это изменение координат, открывая его "неодносвязность", "внутренность" объекта становясь просто "за его горловой сферой".
Таким образом, удалось устранить все особенности.
На этом этапе мы просто расширили модель черной дыры до "черной дыры-белой дыры". Но, все еще для этого "внешнего наблюдателя", время прохождения через этот гипертороидальный мост оставалось бесконечным. Кажется, мы просто улучшили модель черной дыры, объясняя, на что она выходит.
Мы сказали, что выбор переменных в геометрическом решении полностью произволен. Но то, что верно для пространства, верно и для времени. Поэтому мы пошли искать временное изменение переменной, придуманное Эддингтоном в 1924 году:
Там же, мы упоминаем это для ученого или просто таупина.
t — старое "космическое время", старая "хронологическая переменная", присутствующая в начальном решении Шварцшильда 1917 года.
t' — это новое "время Эддингтона". Rs — "радиус Шварцшильда (следует тогда говорить о "периметре Шварцшильда", разделенном на 2p).
c — скорость света (здесь, постоянная).
То, что может казаться странным: мы смешиваем время и пространство, но в этом вопросе у нас есть все права. Выбор временной координаты, временного маркера, полностью произволен. Просто требуется:
-
чтобы метрика была асимптотически лоренцевой, то есть, на бесконечности, пространство-время становилось пространством-временем Минковского, как в специальной теории относительности. В нашем случае это работает (не у Крускала).
-
чтобы это новое время t' было идентифицировано...