Здесь немного «смазали» изображение, чтобы сделать его более читаемым. Поверхность — это объект 2D, здесь «погружённый» в 3D-пространство, евклидово, иначе в R3. Наверху мы можем «увидеть» её. Оказывается, что эта поверхность может быть погружена в это пространство R3 «изометрически». То есть, если наклеить на неё ленту скотча, она действительно будет лежать на геодезической, соединяющей две точки A и B поверхности. Кроме того, длина, измеренная вдоль этой геодезической, также верна. Это изометрия, что по происхождению означает «одинаковая длина». Внизу находится 2D-пространство представления, которое даёт представление, не являющееся изометрическим. Длина дуги A'B' не равна длине дуги AB. Сделайте следующий объект, используя лист бумаги, карандаш и ножницы:
Этот рисунок не является изометрическим. Во-первых, указанная кривая явно не является геодезической на плоскости. Во-вторых, длина дуги AB не является «истинной длиной», которую мы измерили бы на «истинной поверхности», которая «не имеет дыр». Эта бумажная поверхность с дырой — это лишь удобное представление, больше ничего. Точно так же, как и техника, заключающаяся в том, чтобы нарисовать один раз на лицевой стороне листа, а другой раз на обратной, вся кривая появляется только в прозрачном виде.
На следующем рисунке показаны геодезические этой поверхности, рассчитанные компьютером (который приведён в статье).
Участки кривых, отмеченные пунктиром, соответствуют ветвям, находящимся «с другой стороны» (как если бы мы смотрели на поверхность «сверху»).
Теперь вопрос: могу ли я построить плоское и изометрическое представление этих геодезических? Ответ — да. Мы видели, что мы можем изменить переменную r на переменную r. Тогда геодезические могут быть прекрасно представлены в плоскости «полярных координат» (r, j). Геодезические (в данном случае не радиальная геодезическая) имеют следующий вид:
Это представление изометрично. Пусть три точки A, B, C принадлежат поверхности и находятся на одной геодезической. A', B' и C' — соответствующие точки в этом представлении [r, j]. Точки A и B находятся на одной полуплоскости, и дуга, соединяющая их, не пересекает гортань. Измеренная в этом плоском пространстве вдоль изображения этой геодезической (которое, очевидно, не является геодезической этого плоского пространства), длина дуги A'B' равна длине дуги AB, измеренной на поверхности.
Дуга BC пересекает гортань. То же самое.
Но эта изометрия не распространяется на все геодезические поверхности. Существует одна, единственная: окружность гортани, которая здесь уменьшена до точки. Это единственная геодезическая этой поверхности, которая замыкается сама на себя.
Геодезические — это наш единственный способ понять поверхность или, более общим образом, пространство, не плоское, не евклидово. Это надёжные ориентиры (даже если мы имеем искажённое представление о них через наши системы 2D или 3D представления (в перспективе)). Эти геодезические мы знаем, что они «существуют», что они внутренние. Геодезические сферы, например, являются большими окружностями. В случае пространства-времени они населены бесконечным количеством пространственно-временных геодезических. Эти геодезические существуют внутренне, и, чтобы понять (этимологически: окружить, взять в руки), мы, как слепые, пытаемся «ощупать» эти геодезические. Но линии координат времени и пространства не имеют внутренней реальности, так же как и два множества меридианов и параллелей не являются неотъемлемой частью сферы. Они не «поставляются вместе». Геометрия Шварцшильда, решение уравнения Эйнштейна, является 4D-гиперповерхностью. На ней теоретики наклеили семейства кривых «при постоянном t», «при постоянном r» и т.д.
Запомните, что эти действия остаются полностью произвольными. Но даже теоретики космологии часто теряют это понимание, и математики-геометры иногда напоминают им об этом. Поэтому было совершенно законно менять координаты пространства и времени.
На этом этапе вы скажете: но тогда, что позволяет утверждать, что один выбор координат лучше другого? Где находится разумное и неразумное? Это вопрос вкуса. Выбор координат пространства и времени — это навязывание физического взгляда на математический объект. В случае Земли мы дали ей полюса, потому что она вращается. Северный полюс — это просто точка на поверхности «Земля», нормаль которой направлена к Полярной звезде, звезде, которая остаётся неподвижной на звёздном небе.
Касательно изометрии и неизометрии, картография иллюстрирует проблемы, возникающие при попытке представить сферу на плоскости. Проекция Меркатора (проекция земной сферы на цилиндр, касающийся вдоль экватора) очень удобна для людей, живущих около экватора. Однако житель одного из полюсов получает неприятный сюрприз: его область, точечная, превращается в прямую...
Существует тридцать шесть способов проецировать сферу на плоскость. Представим себе такой:
Представим, что мы создаём географические карты по такому принципу и продаем их. Мгновенный успех среди жителей обоих полюсов: эти проекции тогда, в этих регионах, почти изометричны. Очень удобно, чтобы получить представление о расстояниях в этих углах. Если бы Земля была обитаема на полюсах и относительно непригодна в других местах, карты, вероятно, были бы созданы именно так. Обратите внимание, что тогда граница круга проекции на плоскости больше не соответствует экватору, а является параллелью (в данном случае принадлежащей северному полушарию). Вблизи этой области карта будет очень далека от изометрии. Кроме того, на этой странной карте часть территории будет изображена сплошной линией, а другая — пунктирной, потому что она находится за этой параллелью, где объект, странно, кажется «сворачивающимся». За исключением случаев, когда карты будут в форме дисков, и оставшаяся часть территории будет изображена на обратной стороне листа.
Попробуем «думать об этом в 3D». Мы представили Лантурлу, погружающего левую руку в гортань, и разделили два рисунка, что кажется напоминанием о том, что второй 3D-пространство может быть «где-то ещё». Чтобы быть более точным, следовало бы наложить два рисунка в перспективе, изобразив руку (правую), которая выходит «пунктиром».
Я попытался это сделать, хотя это было не очень легко. Также можно было бы использовать разные цвета, например, красный для того, что находится в первом 3D-пространстве нашего неодносвязного 3D-пространства, и зелёный для того, что находится во втором. Красный Лантурла, например, увидел бы выступающую красную левую руку, которую он погрузил в гортань в виде зелёной «правой» руки.
Жаль, что Раймон Дево не интересуется математикой. Хотя...
Конечно, «внутри» гортани ничего нет. Это видимое внутреннее пространство и объёмное содержание возникает только благодаря выбору этого 3D-пространства представления. Точно так же, как внутри отверстия, сделанного в листе бумаги, не было бумаги. Это был просто случай, связанный с выбором этого 2D-пространства представления. Кто-то, настаивающий на использовании этой плоской представления, не удаляя вырезанный диск из бумаги и настаивающий на...