Здесь мы немного «обезжирили» фигуру, чтобы сделать её более читаемой. Поверхность — это двумерный объект, здесь «погружённый» в трёхмерное евклидово пространство, иначе говоря, в R3. Выше мы можем «увидеть её». Оказывается, эта поверхность погружаема в это пространство R3 «изометрическим образом». То есть если приклеить на неё полоску скотча, эта полоска действительно ляжет вдоль геодезической, соединяющей две точки поверхности A и B. Более того, длина, измеренная вдоль этой геодезической дуги, тоже верна. Это изо-метрично, этимологически «одинаковой длины». Внизу находится двумерное пространство представления, которое даёт представление, не являющееся изометрическим. Длина дуги A'B' не равна длине дуги AB. Изготовьте следующий объект с помощью листа бумаги, карандаша и пары ножниц:
Этот рисунок не является изометрическим. Во-первых, указанная кривая, очевидно, не является геодезической плоскости. Во-вторых, длина дуги AB не является «настоящей длиной», той, которую измерили бы на «настоящей поверхности», которая «не продырявлена». Этот продырявленный лист бумаги — лишь удобное представление, и не более того. То же самое относится к этой технике, состоящей в том, чтобы рисовать один штрих на лицевой стороне листа, а другой — на его обороте, причём вся кривая проявляется только в прозрачности.
На следующем рисунке изображены геодезические этой поверхности, вычисленные компьютером (который фигурирует в статье).
Пунктирные части кривых соответствуют ветвям, которые находятся «с другой стороны» (как если бы мы смотрели на поверхность «сверху»).
Теперь вопрос: могу ли я построить плоское и изометрическое представление этих геодезических? Ответ — да. Мы видели, что можем заменить переменную r на переменную r. Тогда геодезические вполне могут быть изображены в плоскости «полярных координат» (r, j). Геодезические (здесь нерадиальная геодезическая) имеют следующий вид:
Это представление является изометрическим. Пусть три точки A, B, C принадлежат поверхности и расположены на одной и той же геодезической. A', B' и C' — соответствующие им точки в этом представлении [r, j]. Точки A и B расположены на одной и той же половине оболочки, и соединяющая их геодезическая дуга не пересекает горловой круг. Измеренная в этой плоскости вдоль образа этой геодезической (которая, очевидно, не является геодезической этой плоскости), длина дуги A'B' равна длине дуги AB, измеренной на поверхности.
Дуга BC пересекает горловую сферу. То же самое.
Но эта изометрия не применима ко всем геодезическим поверхности. Существует одна, единственная в своём роде: горловой круг, здесь сведённый к точке. Это единственная геодезическая этой поверхности, которая замыкается на себя.
Геодезические — наш единственный способ понять поверхность или, более общо, неплоское, неевклидово пространство. Это надёжные ориентиры (даже если мы видим их искажённо через наши системы двумерного или трёхмерного представления (в перспективе). Мы знаем, что эти геодезические «существуют», что они внутренне присущи. Геодезические сферы — это, например, большие круги. Что касается пространства-времени, оно населено бесконечным множеством пространственно-временных геодезических. Эти геодезические существуют внутренне присущим образом, и, чтобы понять (этимологически: обхватить, взять в объятия), мы, как слепые, пытаемся «ощупать» эти геодезические. Но координатные линии времени и пространства не имеют никакой внутренней реальности, так же как два множества меридианов и параллелей не являются неотъемлемой частью сферы. Они не «поставляются вместе с ней». Геометрия Шварцшильда, решение уравнения поля Эйнштейна, является четырёхмерной гиперповерхностью. На неё теоретики наложили семейства кривых «при постоянном t», «при постоянном r» и т. д.
Зарубите себе на носу, что эти жесты остаются совершенно произвольными. Но даже специалисты по теоретической космологии часто теряют осознание этого момента, о чём им время от времени должны напоминать математики-геометры. Поэтому было совершенно законно менять координаты пространства и времени.
На этом этапе вы мне скажете: но тогда что позволяет сказать, что такой-то выбор координат лучше другого? Где разумное и неразумное? Это вопрос вкуса. Выбирать координаты пространства и времени — значит накладывать физическое видение на математический объект. В случае Земли мы дали ей полюса, потому что она вращается. Северный полюс — это просто точка поверхности «Земля», нормаль к которой направлена к Полярной звезде, светилу, остающемуся неподвижным на звёздном своде.
В связи с изометрией и неизометрией картография иллюстрирует проблемы, возникающие при попытках представить сферу на плоскости. Проекция Меркатора (проекция земной сферы на цилиндр, касательный вдоль экватора) очень приятна для людей, живущих вблизи экватора. Зато жителя одного из полюсов ждёт неприятный сюрприз: его точечная область превращается в прямую...
Есть тридцать шесть тысяч способов спроецировать сферу на плоскость. Представим себе такой:
Представим, что мы изготовляем географические карты по этой модели и продаём их. Немедленный успех у жителей обоих полюсов: эти проекции в тех регионах почти изометричны. Очень удобно, чтобы составить представление о расстояниях в тех краях. Если бы Земля была обитаема на полюсах и относительно негостеприимна в остальных местах, карты, без сомнения, были бы созданы именно так. Заметим, что тогда граничная окружность плоской проекции соответствовала бы уже не экватору, а параллели (здесь принадлежащей северному полушарию). В окрестности этого региона карта будет очень далека от изометрии. Более того, на этой странной карте часть территории должна была бы быть изображена сплошной линией, а другая — пунктиром, поскольку она находится за этой параллелью, где объект странным образом как будто «складывается». Разве что предоставлять карты в форме дисков, где продолжение местности было бы изображено на другой стороне, на обороте листа.
Попробуем «помыслить всё это в 3d». Мы изобразили Лантюрлю, погружающего свою левую руку в горловую сферу, и разделили два рисунка, что, похоже, намекает на то, что это второе трёхмерное пространство может быть «где-то ещё». Чтобы быть более точными, следовало бы наложить оба рисунка в перспективе, изобразив (правую) руку, которая выступает «пунктиром».
Я попытался это сделать, хотя это было не очень-то легко. Можно было бы также использовать два разных цвета, например красный для того, что находилось бы в первом трёхмерном склоне нашего не односвязного трёхмерного пространства, и зелёный для того, что находится в другом склоне. Красный Лантюрлю увидел бы тогда, например, как выступает красная левая рука, которую он погрузил в горловую сферу, в виде зелёной «правой» руки.
Жаль, что Раймон Дево не интересуется математикой. Хотя...
Разумеется, «внутри» горловой сферы ничего нет. Эта видимость внутренности, объёмного содержимого, обусловлена лишь выбором этого трёхмерного пространства представления. Так же как внутри дыры, проделанной в листе бумаги, тоже не было бумаги. Это была лишь случайность, связанная с выбором этого плоского пространства представления. Тот, кто упорно использовал бы это плоское представление, не вынимая вырезанного из бумаги диска, и настойчиво спрашивал бы «что там внутри?», был бы «не в теме» (или скорее... внутри). Этот диск «не существует».
Вернёмся в 3d. Когда Лантюрлю погружает руку в горловую сферу, у той тоже нет внутренности. Эта видимость внутренности обусловлена лишь этим выбором пространства представления. Можно было бы считать, что Лантюрлю и его выступающая рука нарисованы на листе бумаги, обладающем тремя измерениями, из которого удалили... сферу (трёхмерный эквивалент диска листа бумаги). Математически диск — это «шар b2», а «объёмная сфера» — «шар b3». «Шаром» называют стягиваемую клетку (см. Топологикон, в «CD-Lanturlu»), то есть объект, который может стянуться в точку, обходя самого себя. Эти двумерный и трёхмерный примеры приведены, чтобы проиллюстрировать план атаки, принятый в статье: у сферы Шварцшильда нет «внутренности» и нет «центра». Когда её пересекают (гиперторический переход), оказываются в «другом склоне пространства-времени».
Каково обоснование этой новой интерпретации «геометрии Шварцшильда»?
Ответ: устранение сингулярностей. Крускал своим «аналитическим продолжением» пустился во все тяжкие, чтобы любой ценой проникнуть «внутрь» этой проклятой сферы. Ему удалось лишь втиснуть сингулярность (роль которой изначально играла сфера Шварцшильда) в точку, расположенную «в центре этого объекта». Этим трюком и удовлетворились. Но мы считаем, что без сингулярности всё же лучше.
Природа протестует, когда на неё смотрят под неправильным углом, выделяя сингулярности. Именно так мы видим вещи. Это априорная точка зрения на «реальное». Мы считаем, что сингулярностей в природе не существует. Мы также считаем, что бесконечности тоже не существует. Но, как сказал бы Киплинг, это другая история. Год назад у меня были бурные дискуссии на эту тему с Сурио.
— Что мне доказывает, что бесконечность существует?..
— Но без бесконечности больше нет математики!..
— Бесконечность, ты её уже встречал? Ты её уже видел, держал в руках?
— Это... удобство.
— Бесконечно большие числа порождают, предполагая, что можно прибавить 1 к числу, неопределённо долго. Значит, используют последовательную бесконечность, чтобы породить числовую бесконечность. Это кусает себя за хвост, твоя штука.
— Ладно, скажем, это удобство. Человек изобрёл за свою историю две важные вещи: бесконечность и сортир...
Я также не верю, что существует бесконечно малое — ни физически, ни математически. Но это будет предметом других работ. Пока оставим эти вопросы в стороне. Простое отступление.
Кстати, см. «Scale Invariant Cosmology» П. Миди и Ж.-П. Пети, International Journal of Modern Physics D, июнь 1999, страницы 271–280, где мы заставили исчезнуть «начальную сингулярность вселенной». Это более математически выстроенная переформулировка идеи, которую я опубликовал в 88–89 годах в Modern Physics Letters A (работы на сайте).
Надеюсь, что когда вы прочтёте эти строки, у нас будет время с помощью господ Лекó или Болана включить эту новую статью в сайт. Но в любом случае, даже если эта работа там и окажется воспроизведена, не суйтесь в неё. Как, помнится, написал Архимед у входа в святилище-науку: «да не войдёт сюда никто, не сведущий в геометрии». Это тензоры и компания, область, в которой Миди наслаждается, но это так же неудобоваримо, как английский пудинг.
Итак, через это рассуждение видно, что физическое видение явлений, которое у нас есть, проистекает из того, как мы решили их себе представлять. Изменив пространственные координаты, мы сменили «локальную топологию» — слово, которое заслуживало бы математического уточнения, говорит Сурио. На самом деле эта фраза — мягкий эвфемизм: он просто начал вопить, когда я произнёс это слово. Его кот Пиум и я с огромным трудом его успокоили. Сурио — это Турнесоль математики. Он охотно практикует математическое возмущение, доведённое до предела. Но эти приступы возмущения не следует путать с гневом в тривиальном смысле слова. В этой области я скорее «господин Журден». Физики часто занимаются математикой, сами того не зная (и наоборот, впрочем).
Допуская временно употребление «неуточнённых» слов, всё происходит так, как если бы до сих пор считали, что «локальная топология» геометрии Шварцшильда является «гиперсферической» (что сфера Шварцшильда «содержит» «шар b3»). Мы сделали её «гиперторической». Именно поэтому я предложил (непроверенное) название «гиперторические геометрии».
Выше упоминалась инверсия пространства. Это обсуждается с помощью групп. Можно ли понять это иначе? Мы видели, что Лантюрлю, погружая левую руку в горловую сферу, видел, как выступает... правая рука. На самом деле каждый атом его руки следовал «радиальной» геодезической, направленной перпендикулярно поверхности.
Заметим кстати, мы забыли это сказать, что этот способ представления не является изометрическим. Как и в случае с продырявленной бумагой чуть раньше. Если бы измерили длину пути, пройденного атомом-свидетелем, принадлежащим руке Лантюрлю, в обоих полупространствах, это не совпало бы с истинной длиной, которую можно вычислить верёвкой.
Вернёмся к рисунку, приведённому выше.
Здесь мы изобразили геодезическую дугу AB, пересекающую горловой круг, и её образ в плоском пространстве представления внизу. Характер неизометрического представления тогда проявляется ещё яснее. Длины дуг AB и A'B' очень различны.
Очевидно, довольно трудно вообразить, что можно продеть верёвку в горловую сферу гиперторического перехода. Натянув верёвку, мы, впрочем, получили бы геодезическую (линию кратчайшего пути). Впрочем, если бы измерили длину этой верёвки в трёхмерном пространстве представления (Лантюрлю, продевающий руку) и отважились измерить длину упомянутой верёвки в этом пространстве, то нашли бы более короткую длину A'B'. Истинная длина, измеренная в трёхмерной гиперповерхности, была бы длиннее, как изображено выше в 2d. Таким образом, трёхмерное представление, где фигурирует Лантюрлю, неизометрично, как и плоское представление на рисунке выше.
В сущности, эти столь тонкие понятия, происходящие из теории групп, в конце концов становятся менее герметичными благодаря нескольким рисункам — при условии «видеть в пространстве». То, что я пытаюсь вам преподать, — это умение видеть в искривлённом трёхмерном пространстве.
Вернёмся к этому делу с энантиоморфией, с инверсией объектов, когда они пересекают горловую структуру, в 2d или 3d. Рассмотрим в 2d «радиальные» геодезические. Слово стало неточным, поскольку радиус в принципе — это прямая, исходящая из точки. На самом деле речь идёт о геодезических при постоянном j. См. рисунок выше, где эта азимутальная координата указана. Но для большей краткости мы продолжим употреблять слово «радиальный», используя кавычки. Заметьте, что это слово «радиальный» — тоже следствие выбора пространства представления. Представьте, что буква R (которая не тождественна своему зеркальному образу, своему энантиоморфному образу) скользит, как плохо приклеенная переводная картинка, вдоль нашего тороического перехода, причём каждая её точка движется по геодезической. Эта буква окажется «на другой стороне». Что интересно — это посмотреть на результат операции в плоской проекции, в пространстве представления.
Изображена своего рода лента, края которой образованы двумя геодезическими. Что мы констатируем? В пространстве представления буква R перевернулась, стала русской «Я», перевёрнутой R, энантиоморфной. Теперь начинают понимать, почему рука Лантюрлю, выступая в нашем «трёхмерном пространстве представления», как будто перевернулась, стала энантиоморфной.