Космология Сомнительная черная дыра.
Жан-Пьер Пети Обсерватория Марселя, Франция Пьер Мида КРИ Орсей, Франция Для связи:
Аннотация
Исходя из так называемой модели черной дыры, рассматриваемой как физическая интерпретация геометрии Шварцшильда, мы пересматриваем проблему судьбы нейтронной звезды, когда она превышает предел устойчивости. Сначала мы представляем новый геометрический инструмент: гиперторическая геометрия, на примерах в 2D и 3D (раздел 2). Мы показываем, что патологии, связанные с метриками, возникающие из-за их элемента линии, выраженного в определенной системе координат, могут быть устранены за счет более подходящего выбора, сформулированного в терминах «локальной топологии». Например, мы показываем, что в двух приведенных примерах — 2D-поверхности и 3D-гиперповерхности, чьи группы изометрии — O2 и O3 — не являются односвязными.
Метод распространяется на геометрию Шварцшильда. Мы показываем, что особенности могут быть полностью устранены, если рассматривать неодносвязную гиперповерхность пространства-времени. Геометрии Шварцшильда придается другое физическое значение: мост, соединяющий два мира — наш и мир-близнец.
Мы показываем, что «заморозка времени», основа модели черной дыры, является простым следствием произвольного выбора определенного маркера времени. Используя другой маркер, вдохновленный работами Эддингтона (1924), мы получаем совершенно иной сценарий, предполагающий радиальное «захватывание» (похожее на азимутальное захватывание метрики Керра). Мы показываем, что решение Шварцшильда можно интерпретировать как «пространственный мост», соединяющий два мира, два пространства-времени, действующий как односторонний мост. Мы показываем, что время прохождения тестовой частицы конечно и коротко, что немедленно делает классическую модель черной дыры сомнительной.
Расширяя группу изометрии метрики Шварцшильда, мы показываем, что два мира являются энантиоморфными (P-симметричными) и обладают противоположными маркерами времени (t* = -t). Используя инструмент теории групп — сопряжённое действие группы на её пространстве импульсов, мы придаём физический смысл этой «инверсии времени» через сферическую горловину, сферу Шварцшильда: когда частица положительной массы проходит через пространственный мост, её вклад в гравитационное поле инвертируется: m* = -m (как показал Ж.М. Сурио в 1974 году, инверсия маркера времени эквивалентна инверсии массы и энергии).
Поскольку вопрос о судьбе неустойчивой нейтронной звезды остается открытым, мы предлагаем альтернативную модель: гиперпространственный перенос частицы её материи через пространственный мост, при этом материя течёт в мир-близнец с релятивистской скоростью.
Кстати, напоминаем о хорошо известных недостатках модели Крускала, особенно о том, что она не является асимптотически лоренцевой на бесконечности.
Мы предлагаем рассматривать геометрию Шварцшильда как гиперповерхность, погружённую в десятимерное пространство. Связывая данный труд с предыдущими работами, основанными на теории групп, мы строим CPT-симметричную модель. Дуальность материя-антиматерия сохраняется в обоих складках. Когда материя переносится в мир-близнец, она подвергается CPT-симметрии, и её масса (вклад в гравитационное поле) инвертируется. Но она остаётся материей. Аналогично, антиматерия, текущая по пространственному мосту, остаётся антиматерией с противоположной массой, поскольку инверсия маркера времени, как показал Сурио, влечёт за собой инверсию массы.
- Модель черной дыры.
Нейтронные звёзды не могут превышать критическую массу, близкую к 2,5 солнечным массам. При больших массах их материя больше не может выдерживать огромное внутреннее давление, вызванное гравитационной силой. Происходит гравитационный коллапс. Долгое время теоретики пытались описать судьбу такого объекта. Изучая метрику Шварцшильда, выраженную ниже в терминах
координат, где Rs — так называемый радиус Шварцшильда (1),
люди предполагали, что это решение уравнения Эйнштейна:
(2) S = 0
с нулевым вторым членом может решить проблему. В действительности, если t выбран как «космическое время внешнего наблюдателя», время свободного падения тестовой частицы по «радиальной геодезической» с любого удалённого от сферы Шварцшильда r = Rs точки оказывается бесконечным, в то время как это время падения Ds, выражаемое в собственном времени, остаётся конечным. Тогда «физическое описание» выглядит следующим образом:
-
Объект (нейтронная звезда, превысившая предел устойчивости) испытывает гравитационный коллапс. Его масса быстро падает к «геометрическому центру системы», описываемому как «центральная особенность». Этот процесс длится конечное время Ds, в терминах собственного времени s.
-
Но для «внешнего наблюдателя», находящегося на некотором расстоянии от объекта, этот процесс кажется «замороженным во времени». Кроме того, сфера Шварцшильда — это поверхность бесконечного красного смещения (из-за нулевого значения члена gtt метрики при r = Rs).
Это модель сферически симметричной черной дыры.
r идентифицируется как «радиальное расстояние», что означает, что можно думать о «том, что находится внутри сферы Шварцшильда». Грубо говоря, это означает, что предполагается, что «локальная топология» — «сферическая»: внутри сферы Шварцшильда предполагается наличие «маленькой сферы», и так далее, до «геометрического центра» объекта.
Позже модель была расширена на осесимметричную геометрию (метрика Керра). Но это расширение не вносит фундаментальных концептуальных изменений. Поэтому мы сосредоточимся в дальнейшем на сферически симметричных системах (мы полагаем, что данное исследование позже может быть распространено на метрику Керра).
Немного странно, что такой плотный объект может быть описан решением уравнений (2), которое априори относится к пустому участку Вселенной, где нет материи-энергии.
Если сохранить описание (определённый выбор координат), возникает множество трудностей. Например, когда r стремится к Rs, член grr стремится к бесконечности.
Сигнатура метрики, выраженная с этим особым выбором координат, имеет вид: ( + - - - ) при r > Rs и ( - + - - ) при r < Rs.
Когда тестовая частица проникает внутрь сферы Шварцшильда, её масса становится мнимой, а скорость — больше скорости света: она становится тахионом.
Рассматривая изменение сигнатуры, некоторые люди говорили:
- Никакой проблемы: внутри сферы Шварцшильда r просто становится временем, а t — радиальным расстоянием.
Французский космолог Жан Хайдман любит говорить: «Когда думаешь о чёрных дырах, нужно отказаться от всякого здравого смысла».
Кстати, существует очень мало кандидатов на чёрные дыры — это наиболее тревожный момент. Действительно, сверхновые, белые карлики и нейтронные звёзды были предсказаны до их наблюдения. Например, Фриц Цвикки представил модель сверхновой на знаменитой лекции в Калифорнийском технологическом институте в 1931 году, задолго до того, как кто-либо её наблюдал. Но спустя годы модель была подтверждена, и теперь мы знаем сотни таких объектов. То же самое касается вращающихся нейтронных звёзд, идентифицированных с пульсарами. Почему так мало наблюдаемых чёрных дыр?
В любом случае астрофизики верят, что чёрные дыры существуют, даже если данных наблюдений о них крайне мало. Они «используют» модели «гигантских чёрных дыр», предположительно находящихся в центре галактик или скоплений галактик, чтобы «объяснить» некоторые их загадочные динамические характеристики.
В дальнейшем мы хотим предложить иное судьба нейтронным звёздам, превысившим свой предел устойчивости. Начнём с представления новых геометрических инструментов.
- Гиперторическая геометрия.
Рассмотрим римановскую метрику g в двух измерениях, элемент линии которой, записанный с помощью двух координат [r, j], имеет вид:
(3)
где:
определено на R по модулю 2.
Rs — постоянная.
Эта метрика становится асимптотически евклидовой при r стремящемся к бесконечности:
(4)
В данной системе координат сигнатура: ( + , + ) при r > Rs и ( - , + ) при r < Rs.
Определитель:
(5)
стремится к бесконечности при r = Rs. Покажем, что это обусловлено именно выбранным набором координат. Введём следующее преобразование координат:
(6)
Элемент линии становится (7)
с соответствующим определителем:
(8)
Он больше не обращается в ноль ни при каких значениях (что, кстати, показывает, что в метрике нулевой определитель элемента линии зависит от выбора системы координат, как показал Эддингтон в 1924 году (см. [10]) для метрики Шварцшильда). Когда стремится к нулю (что соответствует
определитель стремится к:
меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, что эквивалентно r ≥ Rs.
Метрика g, какова бы ни была выбранная система координат, описывает поверхность — объект в двух измерениях. У этой поверхности есть свой набор геодезических, фундаментально инвариантный относительно координат. Исследуем этот набор в системе координат с помощью уравнений Лагранжа. Введём функцию F:
(9)
Соответствующие уравнения Лагранжа:
(10)
(11)
Уравнение (11) даёт:
(12)
h — положительное, отрицательное или нулевое. Кроме того, если в (3) обе части разделить на , получим классически:
(13)
из которого можно вывести дифференциальное уравнение, описывающее плоские геодезические в системе координат:
(14)
Условие |h| ≤ r, согласно (12), означает, что абсолютное значение косинуса угла между касательной к геодезической и радиальным вектором не превышает 1.
Теперь поместим поверхность в R3, добавив дополнительную координату погружения z. Выберем цилиндрические координаты
Поверхность осесимметрична относительно оси z.
Геодезические ( = const) — это меридианы этой поверхности, где:
(15)
что сразу даёт уравнение меридиональной кривой этой поверхности, погружённой в R3. Это парабола:
(16)
На рисунке 1 показано трёхмерное изображение этой поверхности, погружённой в R3, вместе с геодезической и её проекцией на плоскость с полярными координатами.
Эта поверхность не является односвязной. Среди орбит группы изометрии O2 находится окружность минимального периметра — окружность горловины (p = 2 Rs).
Рис. 1: Поверхность, погружённая в R3
и её представление в системе координат.
На рисунке 2 показаны несколько геодезических в этой системе представления.
Рис. 2: Представление некоторых геодезических. Рис. 3: Особая геодезическая, пересекающая окружность горловины.
Обратите внимание, что это представление геодезических на плоскости не является изометричным. Если мы измеряем длину на этой плоскости, она не соответствует длине, измеренной на поверхности.
Если мы требуем, чтобы длина dS была вещественной, мы видим, что она определяет то, что можно назвать локальной топологией. Назовём такую геометрическую структуру тороидальным мостом. Также можно сказать, что эта поверхность обладает локальной тороидальной топологией. У неё есть только один изгиб, который можно рассматривать как объединение двух ограниченных полувыпуклостей, соединённых вдоль своих круговых краёв вдоль окружности горловины, периметр которой равен 2Rs. Эти окружности не являются геодезическими (кроме особой геодезической — окружности горловины, единственной замкнутой). На каждой полувыпуклости, когда расстояние от «тороидального моста» стремится к бесконечности, метрика стремится к евклидовой метрике (2). На рисунке 2, соответствующем представлению [r, θ], верхние части геодезических, пересекающих окружность горловины, изображены сплошными линиями, а части, соответствующие другой полувыпуклости — штриховыми. Заметим, что одна полувыпуклость соответствует (θ ∈ [0, π]), другая — (θ ∈ [π, 2π]). Окружность горловины соответствует θ = 0. Аннотация Следующая страница
Метрика g, независимо от выбранной системы координат, описывает поверхность, объект с двумя измерениями. У последней есть свой набор геодезических, фундаментально инвариантный по отношению к координатам. Исследуем этот набор в системе координат с помощью уравнений Лагранжа. Введём следующую функцию F:
(9)
Соответствующие уравнения Лагранжа имеют вид:
(10)
(11)
Уравнение (11) даёт:
(12)
где h положительно, отрицательно или нулево. Кроме того, если в (3) разделить обе части на , получим классически:
(13)
из которого можно вывести дифференциальное уравнение, описывающее плоские геодезические в системе координат:
(14)
Условие |h| ≤ r, согласно (12), означает, что абсолютное значение косинуса угла между касательной к геодезической и радиальным вектором не превышает 1.
Теперь поместим поверхность в R3, добавив дополнительную координату погружения z. Выберем цилиндрические координаты
Поверхность обладает осевой симметрией относительно оси z.
Геодезические ( = const) — это меридиональные линии этой поверхности, где:
(15)
что немедленно даёт уравнение меридиональной кривой этой поверхности, погружённой в R3. Это парабола:
(16)
На рисунке 1 показан трёхмерный вид этой поверхности, погружённой в R3, вместе с одной геодезической и её проекцией на плоскость с полярными координатами.
Эта поверхность не является односвязной. Среди орбит группы изометрии O2 находится окружность минимального периметра: горловая окружность (p = 2 Rs).
Рис. 1: Поверхность, погружённая в R3
и её представление в системе координат.
На рисунке 2 показано несколько геодезических в этой системе представления.
Рис. 2: Представление некоторых геодезических. Рис. 3: Особая геодезическая, пересекающая горловую окружность.
Обратите внимание, что это представление геодезических на плоскости не является изометричным. Если мы измеряем длину на этой плоскости, она не соответствует длине, измеренной на поверхности.
Если мы требуем, чтобы длина dS была вещественной, мы видим, что она определяет то, что можно назвать локальной топологией. Назовём такую геометрическую структуру тороидальным мостом. Можно также сказать, что эта поверхность обладает локальной тороидальной топологией. Она имеет одну складку, которую можно рассматривать как совокупность двух ограниченных полускладок, соединённых вдоль своих круговых границ по горловой окружности, периметр которой равен 2 Rs. Эти окружности не являются геодезическими линиями (за исключением очень особой геодезической, являющейся горловой окружностью — единственной замкнутой). На каждой полускладке, когда расстояние от «тороидального моста» стремится к бесконечности, метрика стремится к евклидовой метрике (2). На рисунке 2, соответствующем представлению [ r , ] , верхние части геодезических, пересекающих горловую окружность, изображены сплошными линиями, а части, соответствующие другой полускладке — штриховыми. Обратите внимание, что одна полускладка соответствует ( ) , следовательно другая — ( ) . Горловая окружность соответствует = 0 . Резюме Следующая страница
Оригинальная версия (на английском)
Cosmology Questionable black hole.
Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France For correspondance :
Abstract
Starting from the so called black hole model, considered as a physical interpretation of Schwarzschild geometry, we reconsider the problem of the fate of a neutron star when it overcomes its limit of stability. We first present a new geometric tool : hypertoric geometry, through 2d and 3d examples (section 2). We show that pathlogies associated to metrics, arising from their line element expressed in a given coordinate system can be cured through a more suitable choice phrased in terms of "local topology". For example we show that in the two given examples, the 2d surface and 3d hypersurface, whose isometry groups are O2 ans O3, are not simply connected.
We extend the method to Schwarzschild geometry. We show that singular features can be fully eliminated, considering not simply connected space time hypersurface. We give the Schwarzschild geometry a different physical significance : a bridge linking two universes, ours and a twin universe.
We show that the "freeze of time", keystone of the black hole model, is a simple consequence of an arbitrary peculiar time marker choice. Using another one, inspired by Eddington's work (1924) we derive a completely different scenario, implying a radial frame dragging (similar to the azimutal frame dragging of the Kerr metric). We show that the Schwarzschild solution can be interpreted as a "space bridge", linking two universes, two space-times, working as a one way bridge. We show that the transit time of a test particle is finite and short, which immediately makes the classical black hole model questionable.
Extending the isometry group of the Schwarzschild metric we show that the two universes are enantiomorphic (P-symmetric) and own opposite time markers (t* = - t). Using a groups' tool : the coadjoint action of a group on its momentum space, we give the physical significance of this "time inversion", through the spherical throat surface, the Schwarzschild sphere : when a positive mass particle passes through the space bridge, its contribution to the gravitational field is inversed : m* = -m (as shown by J.M.Souriau in 1974, the inversion of the time marker is equivalent to mass and energy inversions).
As the question of the fate of a destabilized neutron star becomes a still open problem, we present a project of an alternative model : the hyperspatial transfer of a part of its matter, through a space bridge, this matter flowing towards the twin universe at relativistic velocity.
By the way we recall some well-known defects of the Kruskall model, particularly the fact that it is not symptotically Lorentzian at infinite.
We suggest to consider Schwarzschild geometry as an hypersurface imbeded in a ten dimensional space. Linking the present work to former ones, based on group theory, we build a CPT symmetric model. The matter antimatter duality holds in both folds When matter is transfered towards twin Unverse, it undergoes a CPT-symmetry and its mass (its contribution to the gravitional field) is reversed. But its is still matter. Similarly, antimatter flowing in space bridge remains antimatter, with opposite mass, for the inversion of the time marker, as shown by Souriau, implies the inversion of the mass.
- The black hole model.
Neutron stars cannot exceed a critical mass, close to 2.5 solar masses. For higher masses, their material cannot stand any longer the huge internal pressure due to gravitational force. Then gravitational collapse occurs. For a long time, theoreticians tried to describe the fate of such an object. Looking at the Schwarzschild metric, hereafter expressed in terms of
coordinates, where Rs is the so called Schwarzschild radius (1)
people imagined that this solution of the Einstein's equation :
(2) S = 0
with zero second member could solve the problem. In effect, if t is chosen as " the cosmic time of an "external observer", the free fall time of a test-particle, following a "radial geodesic", from any distant point from the Schwarzschild sphere r = Rs is found to be infinite, while this free fall time Ds, expressed in proper time remains finite. Then the "physical description" is the following :
-
The object (a neutron star which overcomes its limit of stability) undergoes a gravitational collapse. Its mass falls rapidly towards "the geometric center of the system", described as a "central singularity". This phenomenon extends over a finite duration Ds, in terms of proper time s.
-
But, for an "external observer", located at some distance from the object, this process looks to be "frozen in time". Furthermore the Schwarzschild sphere is an infinite redshift surface (due to the nullity of the gtt term of the metric at r = Rs).
This is the model of a spherically symmetric black hole.
r is identified to a "radial distance", which means that one can think about "what's inside the Schwarzschild sphere". Roughly speaking, it means that one assumes that the "local topology" is "spherical" : Inside the Schwarschild sphere, a "smaller sphere is supposed to be located", an so on, up to the "geometrical center" of the object.
Later the model was extended to axially symmetric geometry (Kerr metric). But this extension brings no fundamental conceptual change. That's for we are going to concentrate in the following on spherically symmetric system (we think that this study could be later extended to the Kerr metric).
It is a little bit strange that such very dense object can be decribed through a solution of equations (2), which a priori refers to an empty portion of the Universe where there is no matter-energy.
If one keeps the
description (a peculiar choice of coordinates), many difficulties arise. For example, when r tends to Rs the grr term tends to infinite.
The signature of the metric, expressed with this peculiar choice of coordinates is : ( + - - - ) for r > Rs ( - + - - ) for r < Rs
When a test particle penetrates inside the Schwarzschild's sphere its mass becomes imaginary and the its velocity larger that the light velocity : it becomes a tachyon.
Considering the change of signature, some people said :
- No problem : Inside the Schwarzschild's sphere r just becomes the time an t the radial distance.
A french cosmologist, Jean Heidmann, uses to say : "when we think about black holes, we have to give up any common sense".
By the way, they are very few black hole candidates, which is the most the more puzzling point. In effect, supernovæ, white dwarfs and neutron stars where predicted before they were observed. Ford example, Fritz Zwicky presented the supernova model, in a famous lecture given in Caltech in 1931 before anyone was observed. But years after years the model was confirmed and we now known hundreds of them. Same thing for rotating neutron stars, identified to pulsars. Why so few observed black holes ?
Anyway, astrophysicists believe than black holes do exist, even if ther is so few observational data about them. They "use" models of "giant black goles", supposed to be located at the center of galaxies or clusters of galaxies, to "explain" some of their puzzling dynamicals features.
In the following, we would like to suggest a different fate for neutrons stars which overcome their limit of stability. Let us start to introduce new geometrical tools.
- Hypertoric geometry.
Consider the following riemanian metric g , in two dimensions, whose line element, written with a set of two coordinates [ r , j ] is :
(3)
where :
is defined on R, modulo 2 .
Rs is a constant.
This metric becomes asymptotically euclidean when r tends to infinite :
(4)
In this peculiar
coordinates system the signature is : ( + , + ) for r > Rs ( - , + ) for r < Rs
The determinant :
(5)
becomes infinite for r = Rs . Let us show that this is due to this peculiar choice of coordinates. Introduce the following change of coordinate :
(6)
The line element becomes (7)
whose associated determinant is :
(8)
It no longer vanishes for all values (which by the way shows that, in a metric, the nullity of the line element's determinant depends on the choice of the coordinate system, as evidenced by Eddington in 1924 (ref.[10]) for Schwarzschild's metric). When tends to zero (which corresponds to
this determinant tends to :
varies from - infinite to + infinite which is equivalent to r ³ Rs
The metric g ,whatever the chosen coordinates system is, describes a surface, a two dimensional object. This last owns its geodesic system, basically coordinate-invariant. Let us study this system in a
coordinates system through Lagrange equations system. Introduce the following F function :
(9)
The corresponding Lagrange equations are :
(10)
(11)
The equation (11) gives :
(12)
h being positive, negative or zero. In addition if in (3) we divide the two members by , we get, classically :
(13)
from which we may derive the differential equation which describes the plane geodesics, in the
coordinates system :
(14)
The condition IhI £ r , according to (12), means that the absolute value of the cosine of the angle between the tangent to the geodesic and the radial vector is £ 1.
Now let us imbed the surface in R3, adding an imbedding additional coordinate z. We choose cylindrical coordinates
The surface is axisymmetric with respect to the z-axis.
The ( = constant ) geodesics are the meridian lines of this surface, where :
(15)
which immediatly gives the equation of the meridian curve of this surface, as imbedded in R3. It is the parabola :
(16)
Figure 1 shows a 3d view of this surface, as imbedded in R3, plus one geodesic and its projection on a plane with
polar coordinates.
This surface is not simply connected. Among the orbits of the isometry group O2 we find a minimum perimeter circle: the throat circle (p = 2 Rs).
Fig. 1 : The surface, as imbedded in R3
**and its representation in a **
coordinate system.
On figure 2 several geodesics are shown, in this
representation system.
**Fig. 2 : ** representation of some geodesics. **Fig 3 **: A peculiar geodesic, crossing the throat circle.
Notice that this representation of geodesics in a plane
is not isometric. Is we measure the length on this plane, it does not correspond to the length as measured on the surface.
If we impose the length dS to be real, we see that it determines what we could call the local topology . Let us call such geometric structure a toroidal bridge . We can also say that this surface owns a *local toroidal topology *. It owns a single fold, which can be considered as a set of two bounded half-folds, the two being glued along their circular borders along the throat circle, whose perimeter is 2 Rs . These circles are not geodesic lines (except thhis very peculiar geodesic which is the throat circle, the only closed one). On each half-fold, when the distance with respect to the "toroidal bridge" tends to infinite the metric tends to the euclidean one (2). On the figure 2, corresponding to a [ r , ] representation, the upper portions of the geodesics crossing the throat circle have been figured as a continuous lines, while the portions corresponding to the other half-fold have been figured as dotted lines. Notice that one half-fold corresponds to ( ) , whence the other corresponds to ( ) . The throat circle corresponds to = 0 . Summary Next page