- Геодезические в представлении [r, j].
Вводя (6) в (14), с dr = thr dr, мы получаем: (17)
что дает представление [r, j] геодезических. Когда r стремится к нулю, dj/dr стремится к конечному значению, так что касательная угла наклона: (18)
стремится к нулю в начале. Изображение круга шеи Шварцшильда в этом представлении — это коническая точка. ** ** **
**
Рис. 4: Геодезическая, показанная на рис. 3, в системе координат (r, j).
Пересечение круга шеи соответствует точке O
Это изометрическое представление геодезических. Заметим, что мы также можем представить поверхность в системе [z, r, j], но это уже не изометрическое представление. Мы получаем связанный меридиан: (19)
Когда r стремится к нулю, z(r) линейно. Когда оно стремится к бесконечности, функция стремится к параболе.
Рис. 5: Меридиан поверхности, в неизометрическом представлении [r, j] поверхности. ****
Изображение круга шеи Шварцшильда в этом представлении — это коническая точка. ** **
- **Расширение до 3D гиперповерхности с сферической симметрией. **
Это можно расширить до 3D гиперповерхности, описываемой элементом линии: (20)
Эта метрика относится к 3D гиперповерхности, здесь выраженной в системе координат [r, q, j]. Переменная r не является «радиальным расстоянием», соответствующим «сферическим координатам». Мы находим подобные патологии в этом новом выражении элемента линии, которые могут быть устранены введением того же изменения координат (6).
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
Элемент линии становится тогда: (21)
Его сигнатура становится ( +, +, + ) и ее определитель: (22)
больше не равен нулю.
Геодезические этой гиперповерхности расположены в плоскостях. q = p/2 является одной из них. В их представлении [r, j] они совпадают с теми, что на рис. 2. Группа изометрии — O3, а соответствующие орбиты — сферы. Среди них одна имеет минимальную площадь (сфера шеи такого 3D тороидального моста). Большие окружности сфер-орбит не являются геодезическими кривыми, за исключением особых случаев, находящихся на сфере шеи, окружность которой равна 2 p Rs. Геодезические этой особой сферы — единственные замкнутые. Мы можем назвать эту особую геометрию гипертороидальной геометрией. Эта 3D-поверхность не является просто связной. У нее есть один 3D-сгиб, который можно рассматривать как набор двух ограниченных полусгибов 3D, соединенных вдоль их сферического края (сфера шеи). На большом расстоянии от этого «гипертороидального моста» метрика стремится к евклидовой метрике, здесь записанной в сферических координатах: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **Геометрия Шварцшильда. **
Классически считается, что ее группа изометрии — SO3 × R, где R относится к одномерным трансляциям. Тогда говорят, что эта метрика не зависит от времени и имеет сферическую симметрию, считая, что R соответствует временным трансляциям.
Выраженная в системе координат [x°, r, q, j], где x° — маркер времени, элемент линии равен (24)
Классически принимается x° = ct, что должно определять космическое время t «внешнего наблюдателя». Когда r >> Rs, (21) стремится к метрике Минковского. Классически r ассоциируется с радиальной координатой. (21) показывает особенность члена grr и изменение сигнатуры, когда r = Rs.
Опять же, мы можем регуляризовать эту метрику, используя изменение координат (6), переходя к системе [t, r, q, j]. Элемент линии становится тогда: (25)
Орбиты группы изометрии O3 — это сферы. Среди них одна, сфера шеи (сфера Шварцшильда), имеет минимальную площадь. Гиперповерхность не является просто связной. Она образует один пространственно-временной сгиб, который можно рассматривать как набор двух полусгибов 4D (двойных сгибов), первый из которых соответствует r > 0, а второй — r < 0, откуда сфера шеи соответствует r = 0. Мы можем вычислить геодезические, расположенные в плоскости q = p/2. Следуя «сферическим координатам»:
**
Рис. 6: Сферические координаты.
**
элемент равен dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
Круги j = const — это геодезические сферы, но, очевидно, они не представляют все геодезические поверхности. Только те, которые проходят через два противоположных точки (полюсы).
Круги q = const не являются геодезическими, за исключением того, которое соответствует q = p/2 (экватор).
В системе координат [r ≥ Rs, j], эти (ненулевой длины) геодезические соответствуют: (26)
Выбор набора констант [l, h] определяет геодезическую. Среди них мы находим гиперболические геодезические, которые не пересекают сферу шеи r = Rs. См. рис. 7.
Рис. 7: Геометрия Шварцшильда.
Представление [r, j] геодезической плоскости гиперболического типа, не пересекающей сферу шеи r = Rs
Мы также находим почти эллиптические геодезические. См. рис. 8
**Рис. 8: Геометрия Шварцшильда.
Представление [r, j] почти эллиптических геодезических. **
Рассмотрим теперь геодезические, пересекающие сферу шеи r = Rs. В представлении [r, j], обозначим a угол между касательной к геодезической и радиальным вектором. (27)
Первое уравнение Лагранжа дает: (28)
Для значений r ≥ Rs параметр l строго положителен. Другое уравнение Лагранжа: (29)
и дает монотонное изменение угла j относительно собственного времени s. В этой плоскости (q = p/2) вращение зависит от знака h.
Согласно новой интерпретации геометрии Шварцшильда (рассматриваемой как неодносвязная гиперповерхность), мы можем представить геодезическую в системе [r, j], как показано на рис. 9.
Рис. 9a: Представление [r, j] геодезической, пересекающей сферу шеи **** (сфера Шварцшильда), соответствующей h ≥ Rs
Одна часть геодезической показана пунктирной линией, так как предполагается, что она принадлежит второму полусгибу 3D, соединенному с первым вдоль сферы шеи, сферы Шварцшильда. Это предполагает разрыв. Но последний вызван этим особенным системой представления [r, j], которая более привычна для нашей (ограниченной) человеческой геометрической интуиции. В 3D-пространстве представления мы получаем рис. 9b. Частицы кажутся «отскакивающими» от сферы Шварцшильда.
**
Рис. 9b: В 3D-евклидовом пространстве представления частицы кажутся отскакивающими от сферы Шварцшильда.
**
С точки зрения этой интерпретации, «внутри сферы Шварцшильда ничего нет», потому что, в этом «внутри», мы просто «вне гиперповерхности». Напомним, что сфера шеи, сфера Шварцшильда соответствует значению r = 0. Первый полусгиб соответствует (r > 0), а второй — (r < 0).
В представлении [r, j] вид геодезической становится довольно разным. Посчитаем касательную угла b, между геодезической и радиальным вектором (см. рис. 6). (30)
Когда r стремится к ±0, thr ≈ r, откуда: (31)
В представлении [r, j] геодезические, переходящие с одного полусгиба на другой, касаются радиального вектора. Больше нет угловой разрыва в начале, которое является изображением круга шеи (r = 0). Для полного описания этих геодезических мы должны вернуться к элементу линии, выраженному в системе координат [t = x°/c, r, q, j] (24), используя систему уравнений Лагранжа, с: (32)
Среди этих уравнений мы находим: (33)
Для заданного значения h эволюция j монотонна относительно собственного времени s.
Рис. 10: Представление [r, j] геодезической, проходящей ** от одного полусгиба (r > 0) к другому (r < 0). **
Как и раньше, часть геодезической, принадлежащая второму полусгибу 3D, показана пунктирной линией.
Мы не можем дать погружение 4D-гиперповерхности, как мы делали в начале статьи для 2D-поверхности. Кроме того, мы имеем дело с 4D-геодезическими, а не с 3D-геодезическими. Пространства [r, q, j] и [r, q, j] — это ничего не значащие пространства представления, которые предположительно делают вещи немного яснее. Реальные геодезические вписаны в 4D-пространство. В любом случае, представление [r, q, j] предполагает «гипертороидальный мост» 3D, тогда как представление [r, q, j] предполагает «гиперконус» 3D. В этом втором (3D) представлении такой 2D-поверхности геодезические проходят от одного полусгиба к другому, проходя через точку (r = 0). Это похоже на 2D-конус. См. рис. 11
**
Рис. 11: Геодезическая конуса. Право: поверхность, имеющая коническую точку.
**