- Выбор временного маркера.
В координатах [t, r, q, j], соответствующих элементу линии (25), определитель метрического тензора равен: (34)
который обращается в ноль, когда r становится нулевым. Однако в 1924 году Эддингтон [10] показал, что нулевое значение метрического тензора зависит от координат. Возвращаемся сначала к исходной форме (35)
Подчеркнем, что выбор системы координат является чисто произвольным, так как метрический тензор, являющийся решением тензорного уравнения (36)
S = 0
фундаментально инвариантен при изменении координат. Мы решаем, что частицы следуют геодезическим линиям. Произвольно выбранные координаты придают физический смысл этой геометрической решению. Мы можем выбрать x° = ct, где c — постоянная. Но мы можем выбрать другую систему отсчета. Это зависит от нас. Единственное условие, для выбранного хронологического маркера x°, или t, x, — это то, что метрический тензор должен быть асимптотически евклидовым: (37)
или: (38)
как выражено в декартовой системе координат. Напомним, что римановский метрический тензор является евклидовым, если можно найти систему координат, где квадратичная форма элемента линии имеет постоянные коэффициенты. Набор знаков составляет сигнатуру. Если эта последняя является (+ - - -), это тензор Минковского. (39)
являясь идентифицированным с элементарным расстоянием, кажется разумным требовать, чтобы метрический тензор был асимптотически евклидовым «на больших расстояниях», независимо от выбранного определения такого расстояния (r или r, как выше).
Определение «космического времени» или «пространственного маркера» остается полностью свободным выбором. Напротив, мы не можем изменить собственное время s, или, точнее, интервал времени Ds между двумя заданными точками многообразия, так как он фундаментально не зависит от координат. Кроме того, предполагается, что частицы могут двигаться в обе стороны вдоль заданной геодезической.
**
Рисунок 12: Путь частицы вдоль заданной геодезической.
**
Путь тестовой частицы вдоль геодезической — это явление. Другая геодезическая многообразия предполагается соответствовать «внешнему покоящемуся наблюдателю». Но состояние покоя зависит от выбора координат (x°, x1, x2, x3), который полностью произволен.
Этот «внешний покоящийся наблюдатель» предполагается находиться в области многообразия, где метрический тензор является евклидовым или почти евклидовым, то есть имеет вид (37). Тогда условия покоя означают, что (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Для такого покоящегося наблюдателя любой интервал собственного времени идентифицируется с интервалом «космического времени», произвольно выбранным: (41)
Ds = Dx°
...Выбор космического времени является чисто произвольным, поэтому эволюция тестовой частицы во времени зависит от этого выбора. Рассмотрим две точки A и B на заданной геодезической, предположительно соответствующей внешнему наблюдателю. Эти точки являются событиями пространства-времени. На рисунке 13 пунктирные линии предполагаются соответствующими постоянному космическому времени x°.
**
Рисунок 13: «Внешний покоящийся наблюдатель», «рассматривающий» эволюцию тестовой частицы на геодезической. Космическое время x°
**
Рассмотрим теперь другой выбор x для космического времени. См. рисунок 14.
**
Рисунок 14: «Внешний покоящийся наблюдатель», «рассматривающий» эволюцию тестовой частицы на геодезической. Космическое время x **
Уточним, что пунктирные линии не представляют траектории фотонов. Фотоны движутся вдоль специфических, нулевых геодезических, которые инвариантны при изменении координат.
Мы все еще имеем Ds(O) = Dx° = Dx, но интервалы Ds'(TP) и Ds"(TP) могут быть очень разными, хотя они относятся к одной и той же геодезической, потому что пары (A',B') и (A",B") могут отличаться. Фундаментально, они зависят от выбранной временной координаты, или от «временного маркера».
- Изменение временных координат Эддингтона и его расширенная форма.
Следующее изменение координат, введенное Эддингтоном в 1924 году, иллюстрирующее этот момент, есть: (42)
Элемент линии становится тогда: (43)
Поскольку член gxx обращается в ноль на сфере r = Rs, она становится поверхностью бесконечного красного смещения (как в классическом элементе линии Шварцшильда). Матрица становится: (44)
ее определитель есть: (45)
- r 4 sin2 q
и не обращается в ноль, независимо от значения r. По причинам, которые будут объяснены позже, расширим это изменение координат до: (46)
Выраженное в системе координат (x, r, q, j), элемент линии становится: (47)
его определитель имеет ту же форму (44). Заметим, что изменение координат Эддингтона соответствует значению d = -1. Мы изучаем геодезические с помощью уравнений Лагранжа, основанных на функции: (48)
с:
Кроме того, из выражения элемента линии мы имеем классически для материальных частиц (ds ≠ 0): (49)
Уравнение Лагранжа дает: (50)
Рассмотрим плоскую геодезическую q = p/2, что дает: (51)
Вдоль геодезической, относительно собственного времени s, эволюция j монотонна. Другое уравнение Лагранжа дает: (52)
то есть: (53)
Сочетая с (49), неожиданно, d исчезает: (54)
Заметим, что если dr = 0 (нулевая скорость) при r, стремящемся к бесконечности, это соответствует l = 1. Когда r стремится к бесконечности, согласно (53): (55)
Если l ≥ 1, когда r стремится к бесконечности, мы получаем: (56)
с
мы получаем (57)
В системе координат [r, j], мы возвращаемся, для ненулевых геодезических (ds ≠ 0), к классическому дифференциальному выражению: (58)
которое дает узоры рисунков 7, 8 и 9. Мы можем теперь определить новое космическое время по формуле: (59)
x = ct
...Элемент линии (43) остается асимптотически евклидовым. На «большом расстоянии» собственное время Ds покоящегося наблюдателя идентифицируется с интервалом Dt.
- Интервалы времени для радиальных путей.
Мы можем вычислить интервал времени Dt = Dx/c для частицы с ненулевой массой, следующей геодезической, из дифференциального уравнения: (60)
Для «радиальных геодезических» (h = 0): (61)
Вблизи сферы Шварцшильда мы получаем: (62)
l = 1 соответствует тестовой частице, скорость которой стремится к нулю на бесконечности.
Рассмотрим этот частный случай: (63)
Согласно (54)
n = -1 соответствует путям (dr < 0).
n = +1 соответствует путям (dr > 0).
...Обратите внимание, что особое изменение координат Эддингтона соответствует (для r ≥ Rs) d = +1. Когда мы вычисляем время радиального прохождения Dt тестовой частицы, относительно этого нового космического времени, мы находим, что оно зависит от направления движения и знака d, то есть от произведения dn. Когда оно положительно, время прохождения тестовой частицы вдоль радиальной геодезической (r ≥ Rs) конечно. Когда оно отрицательно, это время прохождения становится бесконечным.
...Как первое следствие, если применить к модели черной дыры с сферической симметрией, изменение координат Эддингтона дает конечное время свободного падения Dt. Когда r = Rs, скорость частицы становится: (64)
Тестовая частица, падающая на сферу Шварцшильда, достигает ее со скоростью c.
- Скорость света.
Фотоны движутся вдоль нулевых геодезических, соответствующих: (65)
Рассмотрим скорость: (66)
Согласно (65), мы получаем: (67)
Когда r стремится к бесконечности, vj стремится к ±c.
Когда dr < 0, мы имеем n < 1. Тогда, когда r = Rs для путей (dr < 0): (68)
Когда тестовая частица падает на сферу Шварцшильда, вдоль радиального пути, она достигает ее со скоростью света. В заключение: (69)
(70)
Скорость света различна в зависимости от того, рассматриваются ли пути (dr > 0) или (dr < 0).
- Эффект вращения рамки.
Рассмотрим метрический тензор Керра: (71)
где r — это пространственная координата, отличная от той, что определена выше. Мы просто воспроизводим уравнение 7.110 из ссылки [1]. Рассчитаем скорость фотона (ds = 0) для движений, касающихся окружностей (q = p/2, r = постоянная). Мы получаем: (72)
то есть две различных значения. Это соответствует азимутальному вращению и является свойством метрического тензора Керра. Согласно ссылке [1], 7.7, «Решение Керра и вращение», мы читаем:
Физический эффект очень интересен, исходящий из вращательной природы решения Керра; тело, движущееся по геодезической, испытывает силу, пропорциональную параметру a, напоминая силу Кориолиса. В общих чертах, мы можем думать, что вращающийся источник «тянет» пространство вокруг себя. В смысле Маха, источники «взаимодействуют» с лоренцевыми граничными условиями на бесконечности, чтобы установить локальную инерциальную систему.
Переформулировано в терминах координат Эддингтона, черная дыра, рассматриваемая как источник поля, индуцирует радиальное вращение рамки.
- Черная дыра и белый карлик.
В разделе 4 мы предложили новую интерпретацию геометрии Шварцшильда, где сфера Шварцшильда, см. рисунок 9, ведет себя как гортанная сфера, соединяющая два «полупространства-время». Мы можем представить себе структуру, аналогичную этой, объединяющую две следующие геометрии Шварцшильда: (73)
(74)
Эти два элемента получены из (43), первый элемент (73) соответствует d = -1, а второй (74) соответствует d = +1. Связь не вызывает проблем, так как d не появляется в расчете представления [r, j] геодезических. См. уравнение (58). Мы получаем пару «черная дыра - белый карлик», без «центральной сингулярности». Материя может входить в черную дыру, но не может из нее выйти. С другой стороны, материя может вытекать из белого карлика, но не может в него попасть. Время прохождения конечно в одном направлении и бесконечно в другом. Рассчитанное с новым космическим временем x, конечное время прохождения похоже на время, рассчитанное с собственным временем s. Для радиальных путей: (75)
Это время очень короткое. Как показано в этой статье, модель черной дыры основана на особом выборе координат, особенно на космическом времени. Как указано в разделе 6, выбор временного маркера является чисто произвольным. Классический выбор дает квазистационарную систему, в которой падение материи, вливаемой в черную дыру, «заморожено во времени» с точки зрения внешнего наблюдателя. Однако эта статья показывает, что другой выбор временного маркера, полученный из идеи Эддингтона, «размораживает» процесс. С точки зрения, черные дыры, или пары черная дыра - белый карлик, не могут существовать как постоянные объекты, потому что они могут поглощать десятки солнечных масс за миллисекунду. Остается открытый вопрос:
- Что происходит, когда нейтронная звезда превышает свою стабильную границу?
- Пространство представления.
Перед тем как попытаться представить альтернативный проект модели, несколько слов о том, что мы могли бы назвать «пространствами представления». В начале статьи мы изучали двумерную поверхность, определяемую своим элементом линии. Оказалось возможным погрузить эту поверхность в R3, что дало изометрическое представление этого геометрического объекта. В проходе мы упомянули представление [r, j].
Невозможно дать явное представление четырехмерной гиперповерхности, потому что мы не можем ее нарисовать или показать изображения. Однако гиперповерхность может быть представлена в множестве пространств представления, соответствующих различным выборам координат, поскольку объект фундаментально инвариантен при изменении координат. Например, мы можем ввести преобразование (6). Тогда элемент линии становится: (76)
для r > 0
и: (77)
для r < 0.
Радиальные геодезические (например, q = p/2, dj = 0) сходятся к геометрическому центру O системы (в этом особом представлении). Этот пункт похож на «гиперконический пункт». Симметрия относительно точки в трехмерном пространстве — это симметрия P.
В представлении [t, r, q, j], элемент линии Шварцшильда является P-симметричным. Он также не зависит от времени (инвариантен при временной трансляции, то есть соответствует стационарному состоянию) и T-симметричным, инвариантным при преобразовании:
t → -t
Предыдущая страница Следующая страница
Переписано в терминах координат Эддингтона, черная дыра, рассматриваемая как источник поля, вызывает радиальное закручивание рамки.
- Черная дыра и белый карлик.
В разделе 4 мы предложили новую интерпретацию геометрии Шварцшильда, где сфера Шварцшильда, см. рис. 9, ведет себя как горловая сфера, соединяющая два «полуплика пространства-времени». Мы можем представить себе подобную структуру, объединяющую две следующие геометрии Шварцшильда: (73)
(74)
Эти два выводятся из (43), первое выражение (73) соответствует d = -1, а второе (74) - d = +1. Связь не вызывает проблем, так как d не появляется в вычислении представления [r, j] геодезических. См. уравнение (58). Мы получаем пару «черная дыра - белый карлик», без «центральной сингулярности». Материя может входить в черную дыру, но не может из нее выйти. С другой стороны, материя может выйти из белого карлика, но не может в него попасть. Время прохождения конечно в одном направлении и бесконечно в другом. Рассчитанное с новым космическим временем x, конечное время прохождения похоже на время, рассчитанное с собственным временем s. Для радиальных путей: (75)
Это время очень короткое. Как показано в этой статье, модель черной дыры основана на специальном выборе координат, особенно космического времени. Как указано в разделе 6, выбор временного маркера полностью произвольный. Классический выбор дает квазистационарную систему, где падение материи, залитой в черную дыру, «заморожено во времени», по отношению к внешнему наблюдателю. Но эта статья показывает, что другой выбор временного маркера, полученный из идеи Эддингтона, «размораживает» процесс. С этой точки зрения черные дыры, или пары черная дыра-белый карлик, не могут существовать как постоянные объекты, потому что они могут поглощать десятки солнечных масс за миллисекунду. Остается открытый вопрос:
- Что происходит, когда нейтронная звезда превышает свою границу устойчивости?
- Пространство представления.
Перед тем как попытаться представить альтернативный проект модели, несколько слов о том, что мы могли бы назвать «пространствами представления». В начале статьи мы изучали двумерную поверхность, определенную своим элементом линии. Оказалось, что возможно погрузить эту поверхность в R3, что дало нам изометрическое представление этого геометрического объекта. В процессе мы упомянули представление [r, j].
Невозможно дать явное представление четырехмерной гиперповерхности, потому что мы не можем ее нарисовать и показать изображения. Но гиперповерхность может быть представлена во многих пространствах представления, соответствующих различным выборам координат, так как объект в основном инвариантен относительно изменения координат. Например, мы можем ввести преобразование (6). Тогда элемент линии становится: (76)
для r > 0
и: (77)
для r < 0.
«Радиальные» геодезические (например, q = p/2, dj = 0) сходятся к геометрическому центру O системы (в этом особом представлении). Этот пункт сравним с «гиперконическим точкой». Симметрия относительно точки в 3D-пространстве - это P-симметрия.
В этом [t, r, q, j] элемент линии Шварцшильда является P-симметричным. Он также не зависит от времени (инвариантный по времени, т.е. соответствует стационарному состоянию) и T-симметричный, инвариантный по:
t → -t