- Группы изометрии.
Пусть a — матрица вращения в 3D. Запишем: (78)
Элемент группы SO3 × R может быть представлен матрицей: (79)
которая является произведением двух матриц. Первая: (80)
принадлежит SO3.
а вторая: (81)
принадлежит группе R временных трансляций. Введем симметрии P и T. Получаем группу из четырех компонент, элемент которой: (82)
Это произведение двух матриц: (83)
и:
(84)
Назовем этот второй подгруппу E1 (одномерная евклидова группа). В представлении [t, r, q, j] группа изометрии — O3 × E1. Вернемся к выражению элемента линии в системе координат [t, r, q, j]: (85)
...Классически считается, что связанная группа изометрии — SO3 × R, что не является самой большой. На самом деле это O3 × E1, потому что элемент линии также инвариантен относительно пространственных и временных инверсий.
Рассмотрим теперь элемент линии, выраженный в виде "расширенного Эддингтона" (86)
который мы запишем как: (87)
Введем декартовы пространственные координаты [x1, x2, x3]: (88)
(89)
(90)
Элемент линии тогда можно выразить через координаты [x, x1, x2, x3]. (91)
Теперь мы ищем группу изометрии метрики, как она выражена в этом особом системе координат. Сначала у нас есть симметрия P. Элемент линии инвариантен относительно: (92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
Он также инвариантен относительно изменения: (93)
x → -x
d → -d
И относительно временных трансляций: x = x + ε. Это соответствует следующей группе из четырех компонент:
Его элемент — произведение двух матриц. Первая: (94)
соответствует O3, а вторая образует второй подгруппу, элемент которой: (95)
Назовем эту вторую подгруппу "TF".
Группа изометрии (86) поэтому:
O3 × TF
Рассмотрим теперь метрику Шварцшильда, выраженную в системе координат [t = x/c, r, q, j]. Мы можем объединить два выражения (76) и (77) в: (96)
Напомним, что d = -1 охватывает половину пространства-времени r > 0, в то время как d = +1 охватывает вторую половину пространства-времени r < 0, если предположить, что "черная дыра" находится в нашем складке, а "белая дыра" — в "двойном складке".
Если ситуация обратная, то есть "черная дыра" находится в двойном складке, а "белая дыра" — в нашем, мы получаем:
d = +1 охватывает половину пространства-времени r > 0
d = -1 охватывает половину пространства-времени r < 0
Рассмотрим первый случай («черная дыра» находится в нашем мире, а «белая дыра» — в двойном складке). В этом случае метрика: (97)
При замене:
r → -r
t → -t
d → -d
мы получаем вторую метрику: (98)
Обратите внимание, что нулевое значение определителя при r = 0 соответствовало бы локальной инверсии пространства (энантиоморфности) и временной координаты в точке (r = 0). В самом деле, нам нужно ненулевое значение определителя, чтобы определить гауссовы координаты. См. ссылку [1] 2.4
Если определитель не равен нулю, становится возможным определить серию гиперповерхностей (x° или x, или t = постоянная) (соответствующая постоянному значению выбранного хронологического маркера), ортогональных геодезическим линиям координат x° или x или t ("линии мира" для "устойчивых точек").
Рис.15: После рис. 2.1 ссылки [1]
Мы могли бы выразить (97) и (98) в декартовых координатах, как и раньше, и получить (92) и (93). Группа изометрии (96) становится: (99)
Два полупространства-времени являются PT-симметричными.
Помните, что Андрей Сахаров впервые в 1967 году (ссылки [26] до [30]) предположил, что Вселенная может состоять из двух двойных Вселенных, нашей и двойной, с "противоположным временем". Позже он предположил, что двойной склад может быть энантиоморфным.
- Физический смысл инверсии космического времени t.
Эта инверсия времени вызывает недоумение. Это означает, что временной маркер t инвертируется, когда следует по геодезической, от склада к другому. Значит ли это, что часы "пассажира", проходящего через этот гипертороидный мост, будут инвертированы?
Выше мы сказали, что пара "черная дыра - белая дыра" может существовать, где "черная дыра" находится в двойном складе, а "белая дыра" — в другом. Это означало бы, что этот "тестовый пассажир" мог бы погрузиться в первый гипертороидный мост и выйти через второй. Мог ли бы он вернуться в свое начальное пространственное место и "убить своего отца"?
**
Рис.16: Схематическое парадоксальное путешествие.
**
Ответ — нет, потому что знак элементарного приращения ds его собственного времени не меняется вдоль геодезической, которую он следует. Тогда, какой физический смысл у t? Никакого. Это просто координата. *
Только собственное время имеет физический смысл. *
Тогда, каковы последствия инверсии этой временной координаты?
Нам нужно изучить сопряженное действие группы на ее пространстве импульса (ссылки [11] и [12]). Элемент группы: (100)
Это группа из двух компонент (m = ±1), размерность которой 4.
Обратная матрица: (101)
Вычислим элемент алгебры Ли. Запишем: (102)
da = w d e = e
Теперь вычислим: dg' = g⁻¹ × dg × g (103)
(104)
Чтобы вычислить сопряженное действие (см. ссылку [11]), введем скаляр: (105)
инвариантность которого обеспечена, если: (106)
то есть: (107)
Идентификация предоставляет сопряженное действие группы на ее четырехкомпонентный импульс: (108)
( l, m )
Напомним, что количество компонент импульса равно размерности группы. (109)
(110)
m' = m m
Мы можем отождествить m с массой (или с энергией E = mc², безразлично). (110) означает, что когда частица проходит через "сферу горла", ее масса инвертируется (m' = -m). Это не удивительно и дает очень физический смысл этой "инверсии временной координаты". ... Следуя J.M. Souriau [12], мы можем назвать компоненту (m = +1) группы "ортокронами", а компоненту (m = -1) — "антихронами". Элементы антихронной компоненты инвертируют массу. Временная симметрия эквивалентна симметрии m, как показано J.M. Souriau ([12] стр.197, глава инверсии времени и пространства).
- Последующие связанные уравнения поля.
Мы начали с одного уравнения поля с нулевым вторым членом: (111)
S = 0
которое, как предполагалось, должно было следовать из полного уравнения (Эйнштейна): (112)
S = c T
примененного к вакууму (T = 0). Мы можем предположить, что полная геометрия может быть описана двумя "сопряженными метриками" g и g*, из которых мы можем построить два тензора геометрии Эйнштейна S и S*. См. ссылки [13] до [15].
Если два полупространства-времени пусты, пара ( g, g*) является решением системы: (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Точное стационарное решение системы (113) и (114) приведено в ссылке [16]). Теперь мы можем заполнить первый склад пространства-времени положительной массой (положительной энергией и давлением), соответствующей тензорному полю T, а второй — отрицательной массой (отрицательной энергией), и мы предполагаем, что поле зависит от обоих тензорных полей, следуя следующему формализму: (115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
что соответствует сопряженным геометриям: (117)
S* = - S
Обратите внимание, что это вовсе не означает, что g* = - g!
Тензоры T и T* могут быть представлены плотностями массы ρ и ρ* и давлениями p и p*.
Здесь мы предполагаем, что ρ, ρ*, p и p* все положительны, чтобы показать, что "это один и тот же тип материи". Знак минус указывает на то, что "двойная материя" ведет себя как отрицательная масса (и отрицательная энергия и давление). Эта система уравнений поля была представлена и изучена в предыдущих статьях (ссылки [13] до [15]).
- Проект: модель гиперпространственного переноса.
В отмеченных статьях были представлены стационарные связанные решения [16] и нестационарные однородные решения ([14], [15] и [17]). Мы намереваемся построить нестационарные и неоднородные решения системы (115) плюс (116). Например, рассмотрим начальные условия, при которых материя присутствует в нашем складе пространства-времени F, а второй склад F* пуст. Соответствующая система будет: (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...Стационарное решение такой системы было представлено в предыдущей статье [16]. В этих условиях материя присутствует только в складе F. Она может описывать сопряженные геометрии, соответствующие наличию нейтронной звезды в этом складе, нашем, а соседняя часть второго (двойного) склада F* пуста. Изначально, оба склада не связаны. Решение, вне нейтронной звезды, подчиняется: (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Затем в нейтронную звезду заливают материю, до критичности. Специалисты знают, что первым признаком критичности является внезапный рост давления до бесконечности в центре нейтронной звезды (предположительно сферически симметричной), согласно модели Толмана-Оппенгеймера-Волкова (TOV) (ссылка [1], уравнение 144.22). Мы думаем, что этот рост влияет на локальные значения физических констант (скорость света, гравитационная постоянная, масса). Модели с "переменными константами" были впервые введены авторами ([18], [19], [20] и [14]). Позже другие авторы разработали это новое понятие, немного по-другому [17].
...Мы думаем, что это вызовет рождение гипертороидного моста, соединяющего оба склада. Затем материя будет (быстро, с релятивистской скоростью) течь из склада F в склад F*, через этот проход. Как указано выше, это явление инвертирует массу, см. раздел 14, уравнение (110), поэтому нестационарное решение зависит от системы: (122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
На "середине пути" T = T*. Тогда решение подчиняется: (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Мы думаем, что это и есть настоящий смысл геометрии Шварцшильда. Она соответствует кадру, принадлежащему нестационарному процессу.
...Это нестационарное решение — только проект решения. Оно еще не построено. Мы не знаем, что из этого получится, как будет выглядеть полный процесс.
Предыдущая страница Следующая страница
Оригинал (английский)
- **Isometry groups. **
Call **a **a 3d rotation matrix. Write : (78)
The SO3 x R group's element can be figured by the matrix : (79)
which is the product of two matrixes. The first : (80)
belongs to SO3.
and the second : (81)
belongs to the R time-translation group. Introduce P and T symetries. We get a four components group, whose element is : (82)
It is the product of two matrixes : (83)
and :
(84)
Let us call this second sub group E1 (one-dimenional Euclid's group). In the [ t , r , q , j ] representation the isometry group is O3 x E1 Let us return to the expression of line-element in the [t , r ,q, j] coordinate system : (85)
...Classically, one considers that the associated isometry group is SO3 x R , which is not the largest one. It is O3 x E1, for the line-element is also invariant under space and time inversions.
Now, consider the line element expresed into the "extended Eddington" form (86)
that we write : (87)
Introducing cartesian space-coordinates [ x1, x2, x3] : (88)
(89)
(90)
Then the line element can be expressed in terms of [x ,x1,x2,x3] coordinates. (91)
Now we search the isometric group of the metric, as expressed is this peculiar coordinate system. We first have P-symmetry. The line element is invariant under : (92)
x1 ® - x1
x2 ® - x2
x3 ® - x3
It is also invariant through the change : (93)
x ® - x
d ® - d
And through time-translations : x = x + e. It corresponds to the following four components group :
Its element is the product of two matrixes. The first set (94)
corresponds to O3 and the second forms a second sub group whose element is : (95)
Call this second sub-group " TF ".
Then the isometry group of (86) is :
O3 x TF
Consider now the Schwarzschild's metric expressed in [t = x/c , r , q , j ] coordinate system. We can group the two expressions (76) and (77) into : (96)
Remember that d = -1 takes in charge the half space-time r > 0 while d = +1 takes in charge the second half space-time r < 0 , if we consider that the "black hole" is located in our fold, and the "white foutain" in the "twin fold".
If the situation is reversed, i.e. if the "black hole" is located in the twin fold, and the "white foutain" in ours, we get :
d = +1 takes in charge the half space-time r > 0
d = -1 takes in charge the half space-time r < 0
Consider the first case (the "black hole" is in ours universe and the "white foutain" is in the twin fold). There, the metric is : (97)
Changing :
r ® -r
t ® -t
d ® -d
we get the second metric : (98)
Notice that the nullity of the determinant when r = 0 would corresponds to the local inversion of space (enantiomorphy) and time-coordinate at the point ( r = 0 ). In effect we need a non-zero determinant to define gaussian coordinates. See reference [1] 2.4
If the determinant is non zero, it makes possible to define a series of hypersurfaces( x° or x, or t = constant) (corresponding to a constant value of the chosen chronological marker), orthogonal to the geodesic x° or x or t coordinate lines ("world-lines" for "steady points").
Fig.15 : After fig. 2.1 of reference [1]
We could express (97) and (98) in cartesian coordinates, as before, and refind (92) and (93). The isometry group of (96) becomes : (99)
The two half space-time folds are PT-symmetric.
Remeber Andrei Sakharov was the first, in 1967 (references [26] to [30]) to suggest that une Universe could be composed by two twin Universes, ours and a twin one, with "opposite times". Later he suggested that the twin fold could be enantiomorphic.
- **The phyical meaning of the inversion of cosmic time t. **
This time-inversion is puzzling. It means that the time marker t is inversed when one follows a geodesic, from or fold to the twin one. Does it means that the clock of a "passenger", passing through this hypertoric bridge would be reversed ?
Above, we said that a couple "black hole - white foutain" could exist, where the "black hole" would be located in the twin fold and the "white foutain" in the other. It would mean that this "test passenger" could dive into the first hypertoric bridge and rise out from the second one. Could he come back at his space starting point and "kill his father" ?
**
Fig.16 : A (schematic) paradoxical journey.
**
The answer is no, for the sign of the elementary increment ds of his proper time does not change, along the geodesic he follows. So, what is the physical meaning of t ? None. It is just a coordinate. *
Only proper time has a physical meaning. *
So, what is the consequence of the inversion of this time-coordinate ?
We must study the coadjoint action of the group on its space momentum (references [11] and [12]). The element of the group is (100)
This is a two components group ( m = ± 1 ), whose dimension is 4.
The inverse matrix is : (101)
Compute the Lie algebra element. Write : (102)
d** a **= **w ** d e = e
Let us compute : dg' = g-1 x dg x g (103)
(104)
In order to compute the coadjoint action (see ref. [11] ), introduce the scalar : (105)
whose invariance is ensured if : (106)
i.e. : (107)
The identification provides the coadjoint action of the group ont its four components momentum : (108)
( l , m )
Remember the number of momentum's components is equal to the group's dimension. (109)
(110)
m' = m m
We can identify m to the mass (or to the energy E = mc2, indifferently).(110) means that when a particle passes through the "throat sphere" its mass is inversed (m' = -m). This is not surprinzing and gives the very physical meaning of this "inversion of the time-coordinate". ... Following J.M.Souriau [12] we may call the (m = +1) component of the group the "orthochron ones", and (m = -1) the "antichron component". The elements of the antichron component reverse the mass. Time-symmetry is equivalent to m-symmetry, as shown by J.M.Souriau ( [12] p.197, chapter time and space inversions).
- **Subsequent coupled field equations. **
We started from a single zero second member field equation : (111)
S = 0
which was supposed to come from a complete (Einstein's) equation : (112)
S = c **T **
applying to vacuum (T=0). We may assume that the complete geometry may be described by two "conjugated metrics" g and g*, from which we can build two Einstein's geometric tensors S and S*. See references [13] to [15].
If the two half space-times are empty, the set ( **g *, g) is solution of the system : (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(A steady exact solution of the system (113) and (114) is given in reference [16]). Now we can fill the first space time fold by positive mass (positive energy and pressure) corresponding to a tensor field T and the second one by negative mass (negative energy) and we assume that the field depends on boths tensor fields, through the following formalism : (115)
S = c ( **T *- T )
(116)
S* = c ( T*** **- T )
which corresponds to conjugated geometries : (117)
S* = - S
Notice that it definitively does not mean that g* = - g !
Tensors T ans T* can be figured with mass densities r and r* and pressures p and p*.
Here we consider that r, r*, p and p* are all positive, in order to show that "this is the same sort of matter". The minus sign indicates that the "twin matter" behaves like a negative mass (and negative energy and pressure) matter. This system of field equations has been presented and studied in previous papers (references [13] to [15]).
- **A project : the hyperspace transfer model. **
In referenced papers, steady state coupled solutions [16] and non-steady uniform solutions ([14], [15] and [17]) have been presented. We intend to build non-steady and non-uniform solutions of the system (115) plus (116). For example, consider initial conditions where matter is present in our space-time fold F, the second one, F*, being empty. The corresponding system would be : (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...A steady state solution of such a system was presented in a previous paper [16]. In such conditions matter is only present in the fold F. It may describe the conjugated geometries corresponding to the presence of a neutron star in this fold, ours, the adjacent portion of the second (twin) one F* being empty. Initially, the two folds are not connected. The solution, outside the neutron star obeys : (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Then matter is poured into the neutron star, up to criticity. Specialists know that the first symptom of criticity if the suddent raise of the pressure up to infinite at the center of the (supposes spherically symmetric) neutron star, according to the Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) model (ref.[1], equation 144.22). We think that this rise acts on the local values of the constants of physics (light velocity, gravitational constant, mass). Models with "variable constants" were initially introduced by the authors ([18], [19], [20], and [14]). Later, others authors developped this new concept, in a somewhat different way [17].
...We think that this would cause the birth of an hypertoroidal bridge, linking the two folds. Then matter would (rapidly, at relativistic velocity) flow from fold F to fold F*, through this passage. As shown above, this phenomenon inverses the mass, see section 14, equation (110), so that the non-steady solution depends on the system : (122)
S = c ( **T *- T )
(123)
S* = c ( T*** **- T )
At "the middle of the process" T = T* . Then the solution obeys : (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...We think it's the real meaning of the Schwarzschild's geometry. It would correspond to a frame which belongs to a non-steady process.
...This non-steady solution is only a project of solution. It is not built yet. We don't know what would come from, how the complete process would look like.