- Более подробно об иммерсии и геодезических.
Не все поверхности могут быть погружены в R³. Например, рассмотрим метрику (134)
где Rs > 0 и r > 0
определена на R по модулю 2 
Выраженная в этих особых координатах [ r , ], эта линейная метрика регулярна почти повсюду (кроме точки r = 0). В других местах никаких проблем не возникает. Её изометрическая группа — O₂. Орбиты группы — окружности r = const. Можно представить, что эта поверхность может быть погружена в R³, где она будет выглядеть осесимметричной относительно некоторой оси z.
Существуют геодезические ( = const ). Можно подумать, что они являются «меридиональными линиями» поверхности, и уравнение z ( ) такого меридиана может быть построено так, как мы делали в начале статьи. Вдоль геодезических ( = const ): (135)
Если эта поверхность может быть погружена в R³, то вдоль этих геодезических: (136)
что даёт: (137)
Вывод: эта поверхность не может быть погружена в R³.
Эта метрика (135) напоминает некоторое отталкивающее действие.
Не все поверхности, определяемые своей метрикой, могут быть погружены. В любом случае, эти поверхности «существуют», даже если мы не можем взять их в руки. Рассмотрим следующую 3D гиперповерхность, определённую как: (138)
при Rs > 0 и r > 0
определена на R по модулю 2
Мы не можем погрузить такую гиперповерхность. Но она существует и обладает «плоскими геодезическими» ( 
= /2).
Мы можем вычислить геодезическую систему этих 2D и 3D гиперповерхностей. Мы можем изобразить их на плоскости (r,). Они являются реальными. (139)
Их построение идентично построению двух предыдущих поверхностей, определённых своим элементом линии (134). Эти два геометрических объекта являются односвязными.
Рис. 25: Геодезические, соответствующие элементам линии (134) и (138)
(Обратите внимание, что это похоже на действие отталкивания).
Есть нечто странное. Зная элемент линии, мы можем вычислить геодезическую систему. Например, такая для классического представления геометрии Шварцшильда соответствует: (140)
Мы можем вычислить кривые r (), соответствующие этому дифференциальному уравнению. Они являются действительными, включая значения r < Rs!
**
Рис. 26: Полная геодезическая линия, соответствующая элементу линии Шварцшильда.
**
Мы понимаем, почему физики были озадачены после того, как увидели этот странный результат. Но существует математический факт: элемент линии может порождать действительную геодезическую систему, некоторые участки которой соответствуют мнимому элементу длины ds.
Что же с физикой? Мы отождествляем ds с приращением собственного времени. Ранее мы решили считать, что мнимое ds не соответствует физическому пути, что заставило нас пересмотреть «локальную топологию» гиперповерхности, изменив «локальную сфероидальную топологию» на «локальную гипертороидальную топологию».
В предыдущих работах люди сохраняли гипотезу «локальной сфероидальной топологии», что делало физическую интерпретацию «внутренней» области сферы Шварцшильда проблематичной. В ссылке [1], в разделе 6.8, мы читаем:
(Внутри сферы Шварцшильда) казалось бы естественным переосмыслить r как маркер времени, а t — как радиальный маркер (...) ... что означало бы, что ds² < 0 вдоль этой мировой линии.
- Аналитическое продолжение Крускаля.
В классической системе координат [x° , r , , ] радиальная скорость света равна: (141)
поэтому она стремится к нулю, когда r стремится к Rs. Аргумент Крускаля следующий (ссылка [1], раздел 6.8).
Это нежелательное свойство координат Шварцшильда, которое мы можем устранить следующим образом: мы ищем преобразование для r и t к новым переменным u и v, в которых элемент линии принимает вид: (6.187)
...* мы приходим к подходящему преобразованию для внутренности радиуса Шварцшильда:*(6.204)
В то время как снаружи этой сферы: (6.201)
Основное требование заключается в том, чтобы f была регулярной на сфере Шварцшильда r = Rs. Снова из [1]:
Таким образом, u служит глобальным радиальным маркером, а v — глобальным временным маркером.
Кроме того, из (6.187) нулевые геодезические (ds = 0) дают «постоянную скорость света»: (142)
Из (6.201) видно, что при r → ∞ функция f стремится к нулю, поэтому Адлер, Шиффер и Базин говорят [1]:
Они, однако, не соответствуют сферическим координатам плоского пространства на асимптотическом расстоянии, как это делают координаты Шварцшильда.
Метрика Крускаля также является нерегулярным решением уравнений Эйнштейна в этих областях и эквивалентна решению Шварцшильда, но не имеет особенности на границе (сфера Шварцшильда). Это аналитическое продолжение многообразия.
Крускаль фокусируется на проблеме на этой границе, которая становится нерегулярной, а особенность концентрируется в «геометрическом центре», где f стремится к бесконечности. Продолжая использовать ссылку [1], мы приводим отрывок, посвящённый радиальным траекториям фотонов внутрь:
В терминах u, v траектория проста; в терминах r и t, однако, мы видим, что она начинается при некотором конечном r > Rs и конечном x°, движется внутрь к r = Rs, пока x° стремится к бесконечности, и пересекает линию x° = бесконечность внутрь сферы Шварцшильда. После этого r продолжает уменьшаться вдоль траектории, но x° уменьшается. ... Настоящее рассмотрение также clarifies, что x° не является разумным временным маркером внутри сферы Шварцшильда.
Мы видим, что «ничто не идеально». Своим особым выбором координат Крускаль удаётся преодолеть сферу Шварцшильда, концентрируя особенное свойство геометрического решения в «центральной особенности». Но метрика больше не является лоренцевой на бесконечности.
Это показывает, как выбор координат меняет интерпретацию решения. Наш подход вводит изменение в «локальную топологию» (гипертороидальный мост), но устраняет все особенности.
- Возвращение к иммерсии.
Теорема Винера-Граустейна утверждает, что любая n-мерная поверхность при n > 2 может быть погружена в пространство с минимальной размерностью (143)
Для 4D гиперповерхностей это соответствует 10-мерному пространству. Мы знаем, что геодезические геометрии Шварцшильда лежат в плоскостях. = p/2 соответствует одной из них. Тогда мы можем сосредоточиться на подмножестве геодезических ( = p/2). Эти геодезические зависят от двух параметров l и h. Мы знаем, что геодезические (l = 1) соответствуют частицам, скорость которых равна нулю на бесконечности. Кроме того, выберем подмножество геодезических ( = const). Тогда: (144)
Введём дополнительную координату z и запишем: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Дифференциальное уравнение, решение которого: (147)
Мы можем изобразить эти геодезические в 3D пространстве [z, r, ]. Они являются меридиональными линиями осесимметричной поверхности.
Рис. 27: Меридиан поверхности, в которой осуществляется изометрическое погружение геодезических Шварцшильда ( = const).
В 3D пространстве эта поверхность выглядит как рис. 28 (полусечение).
Рис. 28: Поверхность погружения.
Если мы нарисуем «радиальные» геодезические, получим рис. 29.
Рис. 29: Представление «радиальных» геодезических. Нижняя часть: их проекция на плоскость [r, ].
Это очень частичное погружение, поскольку ограничено множеством «радиальных» геодезических. Рис. 29 напоминает складку и наводит на мысль о энантиоморфности. Действительно, рассмотрим набор из трёх точек, движущихся по радиальным геодезическим. Получаем:
Рис. 30-a: Три материальные точки падают к горлу по «радиальным» траекториям.
и:
Рис. 30-b: То же самое, после прохождения через горло.
Треугольник инвертирован.
На плоской проекции [r, ] ориентация треугольника изменяется. Представьте теперь четыре пробные частицы, движущиеся по радиальным траекториям, падающие к сфере Шварцшильда, образуя тетраэдр. См. рис. 31.
Рис. 31: Четыре частицы падают на сферу Шварцшильда по «радиальным» геодезическим в трёхмерном евклидовом пространстве.
Рис. 32: После «отскока» от сферы Шварцшильда частицы движутся в двойственном пространстве. Тетраэдр инвертирован (энантиоморфность).
Вернёмся к предыдущему представлению. Вектор нормали также инвертируется:
Рис. 33: Особая геодезическая = const в её представлении на множестве геодезических (l = 1) в пространстве (r, , z).