- Геодезические в [r,j] представлении.
Подставляя (6) в (14), при dr = thr dr, получаем:
(17)
что даёт [r, j] представление геодезических. При стремлении r к нулю dj/dr стремится к конечному значению, так что тангенс угла наклона:
(18)
стремится к нулю в начале координат. Образ окружности горловины Шварцшильда в таком представлении является конической точкой.
Рис. 4: Геодезическая, показанная на рисунке 3, в системе координат (r, j).
Пересечение окружности горловины соответствует точке O
Это изометрическое представление геодезических.
Заметим, что мы можем также изобразить поверхность в [z, r, j] представлении, но это уже не изометрическое представление. Мы получаем соответствующий меридиан:
(19)
При стремлении r к нулю z(r) линейна. При стремлении к бесконечности функция стремится к параболе.
Рис. 5: Меридиан поверхности в [r, j] неизометрическом представлении поверхности.
Образ окружности горловины Шварцшильда в таком представлении является конической точкой.
- Расширение на сферически-симметричную 3-мерную гиперповерхность.
Это может быть расширено на 3-мерную гиперповерхность, описываемую элементом линии:
(20)
Эта метрика относится к 3-мерной гиперповерхности, здесь выраженной в системе координат [r, q, j]. Переменная r не является «радиальным расстоянием», соответствующим «сферическим координатам». Мы вновь находим аналогичные патологии в этом новом элементе линии, которые можно устранить, вводя ту же замену координат (6).
[r, q, j] → [r, q, j]
Тогда этот элемент линии становится:
(21)
Его сигнатура становится (+, +, +), а его определитель:
(22)
больше не обращается в нуль.
Геодезические этой гиперповерхности расположены в плоскостях. q = p/2 — одна из них. В их [r, j] представлении они совпадают с геодезическими рисунка 2. Группа изометрий — O3, а соответствующие орбиты — сферы. Среди них одна обладает минимальной площадью (горловина такого 3-мерного тороидального моста). Большие круги сфер-орбит не являются геодезическими кривыми, за исключением особых, расположенных на сфере горловины, периметр которой равен 2 p Rs. Геодезические этой особой сферы — единственные замкнутые. Мы можем назвать эту особую геометрию гипертороидальной геометрией. Эта 3-мерная поверхность не является односвязной. Она обладает единственной 3-мерной складкой, которую можно рассматривать как совокупность двух ограниченных полускладок, склеенных вдоль их сферической границы (сферы горловины). На большом расстоянии от этого «гипертороидального моста» метрика стремится к евклидовой, записываемой далее в сферических координатах:
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- Геометрия Шварцшильда.
Классически считается, что её группа изометрий — SO3 × R, где R относится к одномерным трансляциям. Затем обычно говорят, что эта метрика стационарна и сферически-симметрична, полагая, что R соответствует временным трансляциям.
Выраженный в системе координат [x�, r, q, j], где x� — временная метка, элемент линии имеет вид
(24)
Классически пишут x� = ct, что должно определять космическое время t «внешнего наблюдателя». При r >> Rs (21) стремится к метрике Минковского. Классически r отождествляется с радиальной координатой. (21) показывает нерегулярность члена grr и изменение сигнатуры при r = Rs.
Ещё раз мы можем регуляризовать эту метрику, используя замену координат (6), переходя к системе [t, r, q, j]. Тогда элемент линии становится:
(25)
Орбиты группы изометрий O3 — сферы. Среди этого множества одна, сфера горловины (сфера Шварцшильда), обладает минимальной площадью. Гиперповерхность не является односвязной. Она образует единственную складку пространства-времени, которую можно рассматривать как совокупность двух половин 4-мерных складок пространства-времени (двойных складок), первая соответствует r > 0, а вторая — r < 0, откуда сфера горловины соответствует r = 0. Мы можем вычислить геодезические, расположенные в плоскости q = p/2. Следуя: «сферические координаты»:
Рис. 6: Сферические координаты.
элемент равен dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
Круги j = const являются геодезическими сферы, но, очевидно, они не представляют все геодезические поверхности. Только те, что проходят через две антиподальные точки (полюса).
Круги q = const не являются геодезическими, за исключением того, который соответствует q = p/2 (экватор).
В системе координат [r � Rs, j] эти (ненулевой длины) геодезические соответствуют:
(26)
Выбор множества констант [l, h] определяет геодезическую. Среди них мы находим геодезические гиперболического типа, которые не пересекают сферу горловины r = Rs. См. рисунок 7.
Рисунок 7: Геометрия Шварцшильда. [r, j] представление гиперболоидной плоской геодезической, которая не пересекает сферу горловины r = Rs
Мы также находим квазиэллиптические геодезические. См. рисунок 8
Рис. 8: Геометрия Шварцшильда. [r, j] представление квазиэллиптических геодезических.
Теперь сосредоточимся на геодезических, которые пересекают сферу горловины r = Rs. В [r, j] представлении назовём a угол между касательной к геодезической и радиальным вектором.
(27)
Первое уравнение Лагранжа даёт:
(28)
Для значений r � Rs параметр l строго положителен. Другое уравнение Лагранжа:
(29)
и даёт монотонную эволюцию угла j относительно собственного времени s. В этой плоскости (q = p/2) закручивание зависит от знака h.
Согласно этой новой интерпретации геометрии Шварцшильда (рассматриваемой как неодносвязная гиперповерхность), мы можем изобразить геодезическую в [r, j] представлении, как показано на рисунке 9.
Рисунок 9a: [r, j] представление геодезической, которая пересекает сферу горловины (сферу Шварцшильда), соответствующую h � Rs
Одна часть геодезической изображена пунктирной линией, поскольку предполагается, что она принадлежит второй половине 3-мерной складки, связанной с первой вдоль сферы горловины, сферы Шварцшильда. Это предполагает разрыв. Но последний обусловлен этой особой системой представления [r, j], которая более привычна нашей (бедной) человеческой геометрической интуиции. В 3-мерном пространстве представления мы получаем рисунок 9b. Частицы как бы «отскакивают» от сферы Шварцшильда.
Рис. 9b: В 3-мерном евклидовом пространстве представления частицы как бы отскакивают от сферы Шварцшильда.
С этой точки зрения «внутри сферы Шварцшильда ничего нет», ибо в этом «внутри» мы просто «вне гиперповерхности». Напомним, что сфера горловины, сфера Шварцшильда соответствует значению r = 0. Первая полускладка соответствует (r > 0), а вторая — (r < 0).
В [r, j] представлении вид геодезической становится довольно иным. Вычислим тангенс угла b между геодезической и радиус-вектором (см. рисунок 6).
(30)
При стремлении r к � 0 thr � r, откуда:
(31)
В [r, j] представлении геодезические, которые идут от одной полускладки к другой, касательны к радиальному вектору. Угловой разрыв в начале координат исчезает, поскольку последний является образом окружности горловины (r = 0). Чтобы получить полное описание этих геодезических, мы должны вернуться к элементу линии, выраженному в системе координат [t = x�/c, r, q, j] (24), используя систему уравнений Лагранжа с:
(32)
Среди этих уравнений мы находим:
(33)
Для заданного значения h эволюция j монотонна относительно собственного времени s.
Рис. 10: [r, j] представление геодезической, которая переходит от одной полускладки (r > 0) к другой (r < 0).
Как и прежде, часть геодезической, принадлежащая второй 3-мерной полускладке, изображена пунктирной линией.
Мы не можем дать вложение 4-мерной гиперповерхности, как мы делали в начале статьи для 2-мерной поверхности. Кстати, мы имеем дело с 4-мерными геодезическими, а не с 3-мерными. Пространства [r, q, j] и [r, q, j] — не что иное, как пространства представления, которые должны немного прояснить ситуацию. Настоящие геодезические вписаны в 4-мерное пространство. Так или иначе, представление [r, q, j] наводит на мысль о некотором 3-мерном «гипертороидальном мосте», откуда представление [r, q, j] наводит на мысль о некотором 3-мерном «гиперконусе». В этом втором (3-мерном) представлении такой 2-мерной поверхности геодезические идут от одной полускладки к другой, проходя через точку (r = 0). Это аналогично 2-мерному конусу. См. рисунок 11
Рис. 11: Геодезическая конуса. Справа: поверхность, обладающая конической точкой.