- Выбор временного маркера.
В координатах [ t , r , q , j ], соответствующих элементу линии (25), определитель метрики равен:
(34)
который обращается в нуль, когда r становится нулём. Во всяком случае, в 1924 году Эддингтон [10] показал, что обращение метрики в нуль зависит от координат. Сначала вернёмся к исходной форме
(35)
Настаиваем на том факте, что выбор системы координат является чисто произвольным, ибо метрика, решение уравнения в тензорной форме
(36)
S
= 0
в сущности координатно-инвариантна. Мы решаем, что частицы следуют геодезическим. Произвольно выбранные координаты привносят физический смысл этого геометрического решения. Мы можем выбрать x� = ct, где c — константа. Но мы можем выбрать другую систему отсчёта. Это зависит от нас. Единственное требование для выбранного хронологического маркера x�, или t , x , состоит в том, чтобы метрика была асимптотически евклидовой:
(37)
или:
(38)
как выражено в декартовой системе координат. Помните, что риманова метрика является евклидовой, если можно найти систему координат, где квадратичная форма элемента линии имеет постоянные коэффициенты. Набор знаков — это сигнатура.
Если последняя равна ( + - - - ), это метрика Минковского.
(39)
будучи отождествлённой с элементарным расстоянием, представляется разумным требованием наложить на метрику условие асимптотической евклидовости «на больших расстояниях», каким бы ни было выбранное определение такого расстояния ( r или r , сверху).
Определение «космического времени» или «пространственного маркера» остаётся полностью свободным выбором. Напротив, мы не можем изменить собственное время s, или, точнее, интервал времени Ds между двумя заданными точками многообразия, ибо он в сущности не зависит от координат. Кроме того, предполагается, что частицы могут двигаться в обоих направлениях вдоль заданной геодезической.
Рис. 12: Движение частицы по заданной геодезической.
Движение пробной частицы вдоль геодезической является явлением. Другая геодезическая многообразия предполагается относящейся к некоторому «внешнему наблюдателю, находящемуся в покое». Но состояние покоя зависит от выбора координат (x�, x1 , x2 , x3), который полностью произволен.
Этот «внешний наблюдатель» предполагается расположенным в части многообразия, где метрика евклидова, или квазиевклидова, т. е. имеет форму (37). Тогда условия покоя означают, что
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Для такого наблюдателя в состоянии покоя любой интервал собственного времени отождествляется с соответствующим произвольно выбранным «интервалом космического времени»:
(41)
Ds
= Dx�
...Поскольку выбор космического времени чисто произволен, эволюция пробной частицы во времени зависит от этого выбора. Рассмотрим две точки A и B на заданной геодезической, которая предполагается относящейся к внешнему наблюдателю. Эти точки являются пространственно-временными событиями. На рисунке 13 пунктирные линии предполагаются относящимися к постоянному космическому времени x�.
Рис. 13: «Внешний наблюдатель в покое», «рассматривающий» эволюцию пробной частицы на геодезической. Космическое время x�
Рассмотрим теперь другой выбор x для космического времени. См. рисунок 14.
Рис. 14: «Внешний наблюдатель в покое», «рассматривающий» эволюцию пробной частицы на геодезической. Космическое время x
Уточним, что пунктирные линии не являются траекториями фотонов. Фотоны движутся по особым, нулевым геодезическим, которые координатно-инвариантны.
У нас по-прежнему Ds(O) = Dx� = Dx, но интервалы Ds'(TP) и Ds"(TP) могут быть довольно разными, хотя они относятся к одной и той же геодезической, ибо пары (A',B') и (A",B") могут различаться. В сущности, они зависят от выбранной временной координаты, или «временного маркера».
- Замена временной координаты Эддингтона и её расширенная форма.
Следующая замена координат, введённая Эддингтоном в 1924 году, иллюстрирующая этот пункт, такова:
(42)
Тогда элемент линии становится
(43)
Поскольку член gxx обращается в нуль на сфере r = Rs , последняя является поверхностью бесконечного красного смещения (как в классическом элементе линии метрики Шварцшильда). Матрица становится:
(44)
определитель которой равен:
(45)
- r 4
sin2 q
и больше не обращается в нуль, каким бы ни было значение r. По причинам, которые будут объяснены позже, расширим эту замену координат до:
(46)
Выраженный в системе координат ( x , r , q , j ), элемент линии становится:
(47)
определитель которого имеет ту же форму (44). Заметим, что замена координат Эддингтона соответствует значению d = - 1.
Мы изучаем геодезические, используя уравнения Лагранжа, основанные на функции:
(48)
с:
Кроме того, из выражения элемента линии мы классически имеем для материальных частиц (ds � 0):
(49)
Одно уравнение Лагранжа даёт:
(50)
Рассмотрим плоскую геодезическую q = p/2 , что даёт:
(51)
Вдоль геодезической, по отношению к собственному времени s, эволюция j монотонна. Другое уравнение Лагранжа даёт:
(52)
т. е.:
(53)
В сочетании с (49), что удивительно, d исчезает:
(54)
Заметим, что если dr = 0 (нулевая скорость), когда r стремится к бесконечности, это соответствует l = 1. Когда r стремится к бесконечности, согласно (53):
(55)
Если l � 1 , когда r стремится к бесконечности, получаем:
(56)
с
получаем
(57)
В [ r , j ] мы вновь находим для ненулевых геодезических (ds � 0) дифференциальное выражение классической формы:
(58)
которое даёт картины рисунков 7, 8 и 9. Теперь мы можем определить новое космическое время через:
(59)
x = ct
...Элемент линии (43) по-прежнему асимптотически евклидов. На «большом расстоянии» собственное время Ds наблюдателя в покое отождествляется с интервалом Dt.
- Интервалы времени для радиальных траекторий.
Мы можем вычислить интервал времени Dt = Dx/c частицы с ненулевой массой, следующей геодезической, через дифференциальное уравнение:
(60)
Для «радиальных геодезических» ( h = 0 ):
(61)
Вблизи сферы Шварцшильда получаем:
(62)
l = 1 соответствует пробной частице, скорость которой стремится к нулю на бесконечности.
Рассмотрим тот особый случай:
(63)
Из (54)
n = - 1 соответствует траекториям (dr < 0).
n = +1 соответствует траекториям (dr > 0).
...Заметим, что особая замена координат Эддингтона соответствует (для r � Rs) d = + 1 . Когда мы вычисляем радиальное время движения Dt пробной частицы по отношению к этому новому космическому времени, мы находим, что последнее зависит от направления этого движения и от знака d, т. е. от произведения dn. Когда оно положительно, время движения пробной частицы вдоль радиальной геодезической (r � Rs) конечно. Когда оно отрицательно, это время движения становится бесконечным.
...Как первое следствие, если применить к сферически-симметричной модели чёрной дыры, замена координат Эддингтона даёт конечное время свободного падения Dt. Когда r = Rs скорость частицы становится:
(64)
Пробная частица, падающая к сфере Шварцшильда, достигает её со скоростью c.
- Скорость света.
Фотоны движутся по нулевым геодезическим, соответствующим:
(65)
Рассмотрим скорость:
(66)
Из (65) получаем:
(67)
Когда r стремится к бесконечности, vj стремится к � c .
Когда dr < 0, имеем n < 1 . Тогда при r = Rs для траекторий (d r< 0):
(68)
Когда пробная частица падает к сфере Шварцшильда вдоль радиальной траектории, она достигает её со скоростью света.
Подводя итог:
(69)
(70)
Скорость света различна, если рассматривать траектории (dr > 0) или (d r< 0).
- Эффект увлечения системы отсчёта.
Рассмотрим метрику Керра:
(71)
где r — пространственная координата, отличная от определённой выше. Мы просто воспроизводим уравнение 7.110 из ссылки [1].
Вычислим скорость фотона (ds = 0) для движений, касательных к окружностям (q = p/2, r = const). Находим:
(72)
т. е. два различных значения. Это соответствует азимутальному увлечению системы отсчёта и является свойством метрики Керра. Из ссылки [1], 7.7, «Решение Керра и вращение», читаем:
Очень интересный физический эффект следует из вращательной природы решения Керра; тело в геодезическом движении испытывает силу, пропорциональную параметру a , напоминающую силу Кориолиса. Грубо говоря, мы можем думать о вращающемся источнике как об «увлекающем» пространство за собой. В махианском смысле источник «конкурирует» с лоренцевыми граничными условиями на бесконечности при установлении локальной инерциальной системы отсчёта.
Перефразируя в терминах координат Эддингтона, чёрная дыра, рассматриваемая как источник поля, индуцирует радиальное увлечение системы отсчёта.
- Чёрная дыра и белый фонтан.
В разделе 4 мы предложили новую интерпретацию геометрии Шварцшильда, где сфера Шварцшильда, см. рисунок 9, ведёт себя как сфера-горловина, связывающая две «половины пространственно-временных складок». Мы можем вообразить аналогичную структуру, объединяющую две следующие геометрии Шварцшильда:
(73)
(74)
Эти две выводятся из (43), причём первый элемент линии (73) соответствует d = -1, а второй (74) — d = +1 . Связывание не вызывает трудностей, ибо d не появляется при вычислении [ r, j ]-представления геодезических. См. уравнение (58). Мы получаем пару «чёрная дыра — белый фонтан» без «центральной сингулярности». Материя может входить в чёрную дыру, но не выходить. С другой стороны, материя может вытекать из белого фонтана, но не входить в него. Время прохождения конечно в одном направлении и бесконечно вдоль другого. Вычисленное с новым космическим временем x, конечное время прохождения аналогично вычисленному с собственным временем s. Для радиальных траекторий:
(75)
Это время очень короткое. Как было показано в этой работе, модель чёрной дыры основана на особом выборе координат и особенно космического времени. Как отмечено в разделе 6, выбор временного маркера чисто произволен. Классический выбор даёт квазистационарную систему, где падение материи, вливаемой в чёрную дыру, «заморожено во времени» по отношению к внешнему наблюдателю. Но настоящая работа показывает, что другой выбор временного маркера, производный от идеи Эддингтона, «размораживает» процесс. С этой точки зрения чёрные дыры, или пары чёрная дыра — белый фонтан, не могут существовать как постоянные объекты, ибо они могут поглощать десятки солнечных масс за миллисекунду. Так что остаётся открытый вопрос:
- Что происходит, когда нейтронная звезда превосходит свой предел устойчивости?
- Пространство представления.
Прежде чем попытаться представить альтернативный проект модели, несколько слов о том, что мы могли бы назвать «пространствами представления». В начале работы мы изучали 2d-поверхность, определённую её элементом линии. Оказалось возможным вложить эту поверхность в R3, что дало изометрическое представление этого геометрического объекта. Кстати, мы упомянули [r,j]-представление.
Невозможно дать наглядное представление четырёхмерной гиперповерхности, ибо мы не можем её нарисовать и показать рисунки. Но гиперповерхность может быть изображена во многих пространствах представления, соответствующих различным выборам координат, ибо объект в сущности координатно-инвариантен. Мы можем, например, ввести замену (6). Тогда элемент линии становится:
(76)
для r > 0
и:
(77)
для r < 0.
«Радиальные» геодезические (например, q = p/2 , dj = 0 ) фокусируются в геометрическом центре O системы (в этом особом представлении). Эта точка сравнима с «гиперконической точкой».
Симметрия относительно точки в 3d-пространстве является P-симметрией.
В этом [ t , r , q , j ] элемент линии Шварцшильда P-симметричен. Он также не зависит от времени (инвариантен относительно сдвига времени, т. е. соответствует стационарному состоянию) и T-симметричен, инвариантен относительно:
t � - t