- Группы изометрий.
Обозначим a как матрицу вращения в трёхмерном пространстве. Запишем:
(78)
Элемент группы SO3 x R может быть представлен матрицей:
(79)
которая является произведением двух матриц. Первая:
(80)
принадлежит группе SO3.
а вторая:
(81)
принадлежит группе временных трансляций R. Введём симметрии P и T. Мы получаем группу из четырёх компонент, элемент которой имеет вид:
(82)
Это произведение двух матриц:
(83)
и:
(84)
Назовём эту вторую подгруппу E1 (одномерная группа Евклида).
В представлении [ t , r , q , j ] группа изометрий есть O3 x E1.
Вернёмся к выражению элемента линии в системе координат [t , r ,q, j]:
(85)
...Классически полагают, что соответствующая группа изометрий есть SO3 x R, что не является наибольшей возможной группой. Это O3 x E1, так как элемент линии также инвариантен относительно пространственной и временной инверсий.
Теперь рассмотрим элемент линии, выраженный в «расширенной форме Эддингтона»:
(86)
которую мы запишем как:
(87)
Введём декартовы пространственные координаты [ x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Тогда элемент линии может быть выражен через координаты [x ,x1,x2,x3].
(91)
Теперь ищем группу изометрий метрики, выраженной в этой особой системе координат.
Сначала у нас есть P-симметрия. Элемент линии инвариантен относительно:
(92)
x1 → - x1
x2 → - x2
x3 → - x3
Он также инвариантен относительно преобразования:
(93)
x → - x
d → - d
И относительно временных трансляций: x = x + e. Это соответствует следующей группе из четырёх компонент:
Её элемент является произведением двух матриц. Первая группа
(94)
соответствует O3, а вторая образует вторую подгруппу, элемент которой имеет вид:
(95)
Назовём эту вторую подгруппу «TF».
Тогда группа изометрий выражения (86) есть:
O3 x TF
Рассмотрим теперь метрику Шварцшильда, выраженную в системе координат [t = x/c , r , q , j ]. Мы можем объединить два выражения (76) и (77) в:
(96)
Напомним, что d = -1 отвечает за полупространство-время r > 0, тогда как d = +1 отвечает за вторую половину пространства-времени r < 0, если мы считаем, что «чёрная дыра» находится в нашем листе, а «белый фонтан» — в «двойниковом листе».
Если ситуация обратная, т.е. если «чёрная дыра» находится в двойниковом листе, а «белый фонтан» — в нашем, то мы получаем:
d = +1 отвечает за полупространство-время r > 0
d = -1 отвечает за полупространство-время r < 0
Рассмотрим первый случай («чёрная дыра» в нашей вселенной, а «белый фонтан» в двойниковом листе). Здесь метрика имеет вид:
(97)
Изменяя:
r → -r
t → -t
d → -d
мы получаем вторую метрику:
(98)
Отметим, что обращение определителя в нуль при r = 0 соответствует локальной инверсии пространственной (энантиоморфия) и временной координат в точке ( r = 0 ). Действительно, для определения гауссовых координат требуется ненулевой определитель. См. ссылку [1] 2.4
Если определитель ненулевой, это позволяет определить серию гиперповерхностей ( x� или x, или t = const) (соответствующих постоянному значению выбранного хронологического маркера), ортогональных геодезическим линиям координат x� или x или t («мировым линиям» для «стационарных точек»).
Рис.15: По рис. 2.1 из ссылки
[1]
Мы могли бы выразить (97) и (98) в декартовых координатах, как раньше, и снова получить (92) и (93). Группа изометрий выражения (96) принимает вид:
(99)
Две половины пространства-времени PT-симметричны.
Напомним, что Андрей Сахаров первым в 1967 году (ссылки [26]–[30]) предположил, что Вселенная может состоять из двух двойниковых Вселенных: нашей и двойниковой, с «обратными временами». Позже он предположил, что двойниковый лист может быть энантиоморфным.
- Физический смысл инверсии космического времени t.
Эта инверсия времени озадачивает. Она означает, что временной маркер t инвертируется при движении вдоль геодезической от нашего листа к двойниковому. Означает ли это, что часы «пассажира», проходящего через этот гипертонический мост, пойдут назад?
Выше мы говорили, что может существовать пара «чёрная дыра — белый фонтан», где «чёрная дыра» находится в двойниковом листе, а «белый фонтан» — в другом. Это означало бы, что этот «пробный пассажир» мог бы нырнуть в первый гипертонический мост и вынырнуть из второго. Мог бы он вернуться в свою начальную точку пространства и «убить своего отца»?
Рис.16: Парадоксальное путешествие (схема).
Ответ — нет, поскольку знак элементарного приращения ds собственного времени не меняется вдоль геодезической, по которой он движется. Так каков же физический смысл t? Никакого. Это просто координата.
Физический смысл имеет только собственное время.
Так каково же следствие инверсии этой временной координаты?
Мы должны изучить сопряжённое действие группы на её пространстве импульсов (ссылки [11] и [12]). Элемент группы имеет вид:
(100)
Это группа из двух компонент ( m = ± 1 ), размерность которой равна 4.
Обратная матрица имеет вид:
(101)
Вычислим элемент алгебры Ли. Запишем:
(102)
da = w
d e = e
Вычислим: dg' = g-1 x dg x g
(103)
(104)
Для вычисления сопряжённого действия (см. ссылку [11]) введём скаляр:
(105)
инвариантность которого обеспечивается, если:
(106)
т.е.:
(107)
Идентификация даёт сопряжённое действие группы на её четырёхкомпонентный импульс:
(108)
( l , m )
Напомним, что число компонент импульса равно размерности группы.
(109)
(110)
m' = m m
Мы можем отождествить m с массой (или с энергией E = mc2, безразлично). Уравнение (110) означает, что когда частица проходит через «горловую сферу», её масса инвертируется (m' = -m). Это не удивительно и придаёт очень физический смысл этой «инверсии временной координаты».
... Согласно Ж.-М. Суриа [12], мы можем назвать компоненту группы (m = +1) «ортохронной», а (m = -1) — «антихронной компонентой». Элементы антихронной компоненты обращают массу. Временная симметрия эквивалентна m-симметрии, как показал Ж.-М. Суриа ([12] стр.197, глава об инверсиях времени и пространства).
- Последующие связанные уравнения поля.
Мы начали с единственного уравнения поля с нулевой правой частью:
(111)
S = 0
которое, как предполагалось, происходит из полного (эйнштейновского) уравнения:
(112)
S = c T
применимого к вакууму (T=0). Мы можем предположить, что полная геометрия может быть описана двумя «сопряжёнными метриками» g и g*, из которых мы можем построить два эйнштейновских геометрических тензора S и S*. См. ссылки [13]–[15].
Если обе половины пространства-времени пусты, набор ( g , g*) является решением системы:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Стационарное точное решение системы (113) и (114) приведено в ссылке [16]). Теперь мы можем заполнить первый лист пространства-времени положительной массой (положительной энергией и давлением), соответствующей тензорному полю T, а второй — отрицательной массой (отрицательной энергией), и предположить, что поле зависит от обоих тензорных полей через следующий формализм:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
что соответствует сопряжённым геометрия:
(117)
S* = - S
Заметим, что это категорически не означает, что g* = - g !
Тензоры T и T* могут быть представлены плотностями масс r и r* и давлениями p и p*.
Здесь мы предполагаем, что r, r*, p и p* все положительны, чтобы показать, что «это тот же сорт материи». Знак минус указывает на то, что «двойниковая материя» ведёт себя как материя с отрицательной массой (и отрицательной энергией и давлением). Эта система уравнений поля была представлена и изучена в предыдущих работах (ссылки [13]–[15]).
- Проект: модель переноса в гиперпространстве.
В ссылочных работах были представлены стационарные связанные решения [16] и нестационарные однородные решения ([14], [15] и [17]). Мы намереваемся построить нестационарные и неоднородные решения системы (115) плюс (116). Например, рассмотрим начальные условия, при которых материя присутствует в нашем листе пространства-времени F, тогда как второй лист, F*, пуст. Соответствующая система имела бы вид:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...Стационарное решение такой системы было представлено в предыдущей работе [16]. В таких условиях материя присутствует только в листе F. Это может описывать сопряжённые геометрии, соответствующие присутствию нейтронной звезды в этом листе, нашем, при том что смежная часть второго (двойникового) листа F* пуста. Изначально два листа не связаны. Решение вне нейтронной звезды подчиняется:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Затем материя поступает в нейтронную звезду до критичности. Специалисты знают, что первым признаком критичности является внезапное возрастание давления до бесконечности в центре (предполагаемой сферически симметричной) нейтронной звезды согласно модели Толмана-Оппенгеймера-Волкова (TOV) (ссылка [1], уравнение 144.22). Мы думаем, что это возрастание влияет на локальные значения физических констант (скорость света, гравитационная постоянная, масса). Модели с «переменными константами» были первоначально введены авторами ([18], [19], [20] и [14]). Позже другие авторы развили эту новую концепцию несколько иным образом [17].
...Мы думаем, что это вызвало бы рождение гипертонического моста, связывающего два листа. Затем материя потекла бы (быстро, с релятивистской скоростью) из листа F в лист F* через этот проход. Как показано выше, это явление обращает массу, см. раздел 14, уравнение (110), так что нестационарное решение зависит от системы:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
В «середине процесса» T = T* . Тогда решение подчиняется:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Мы думаем, что это и есть реальный смысл геометрии Шварцшильда. Это соответствовало бы системе отсчёта, принадлежащей нестационарному процессу.
...Это нестационарное решение является лишь проектом решения. Оно ещё не построено. Мы не знаем, что из этого получится, как будет выглядеть полный процесс.