- Ещё о вложении и геодезических.
Не все поверхности можно вложить в R3. Например, рассмотрим метрику
(134)
где Rs
0 и r > 0
определена на R по модулю 2 
Выраженный в этих [ r , ] особых координатах,
этот линейный элемент регулярен почти всюду (кроме точки r = 0).
В остальном проблем не возникает. Его изометрическая группа — O2. Орбиты группы
— окружности r = const. Можно было бы вообразить, что эту поверхность можно вложить
в R3, где она предстала бы осесимметричной, вокруг некоторой оси z.
( = const ) геодезические существуют. Можно было бы подумать, что они являются "меридианными линиями"
поверхности и что уравнение z ( ) такого
меридиана можно построить так, как мы делали в начале статьи. Вдоль ( = const ) геодезических :
(135)
Если эту
поверхность можно вложить в R3, вдоль этих геодезических :
(136)
что даёт :
(137)
Вывод : эту поверхность нельзя вложить в R3.
Эта метрика (135) вызывает некое отталкивающее действие.
Не все поверхности, как определяемые
их метрикой, можно [вложить]. Во всяком случае, эти поверхности "существуют", даже если
мы не можем схватить их руками.
Рассмотрим следующую
3-мерную гиперповерхность, определяемую как :
(138)
с Rs
0 и r > 0
определена на R по модулю 2
Мы не можем вложить такую гиперповерхность.
Но она существует и обладает "плоскими геодезическими" ( 
= /2).
Мы можем вычислить геодезическую
систему этих 2-мерной и 3-мерной гиперповерхностей. Мы можем изобразить их на плоскости (r,).
Они вещественны.
(139)
Их
рисунок идентичен таковому у предыдущей поверхности 2, как определяемой её
линейным элементом (134). Эти два геометрических объекта односвязны.
Рис.25
: Геодезические, соответствующие
линейным элементам (134)
и (138)
(Заметьте,
что это похоже на отталкивающее действие).
Есть нечто
озадачивающее. Задан линейный элемент — мы можем вычислить геодезическую систему. Например,
таковая классического представления геометрии Шварцшильда соответствует :
(140)
Мы можем вычислить кривые
r (), соответствующие этому дифференциальному уравнению.
Они вещественны, в том числе
для значений r < Rs !
Рис.26 :
Полная геодезическая линия, соответствующая
линейному элементу Шварцшильда.
Мы понимаем, почему физики были озадачены, взглянув на этот странный результат.
Но есть математический факт : линейный элемент может порождать вещественную геодезическую
систему, причём некоторые участки соответствуют мнимому элементу длины ds.
А как насчёт физики? Мы отождествляем ds с приращением собственного времени. Выше мы
решили считать, что мнимый ds не соответствует физическому пути,
что вынудило нас пересмотреть "локальную топологию" гиперповерхности,
превратив "локальную сфероидальную топологию" в "локальную гипертороидальную
топологию".
В предыдущих работах люди придерживались этой гипотезы "локальной сфероидальной топологии",
так что физическая интерпретация "внутренности" сферы Шварцшильда становилась проблематичной. В ссылке [1], в разделе 6.8 мы читаем :
(Внутри сферы Шварцшильда) было бы поэтому естественно переинтерпретировать r как временную метку,
а t как радиальную метку (...)
... это означало бы, что ds2 < 0 вдоль этой мировой линии.
- Аналитическое продолжение Крускала.
В классической системе координат [x� , r ,
, ] радиальная скорость
света равна :
(141)
так что она стремится к нулю,
когда r стремится к Rs. Аргумент Крускала следующий (ссылка [1],
раздел 6.8).
Это
нежелательная особенность координат Шварцшильда, которую мы можем устранить
следующим образом; мы ищем преобразование для r и t к новым переменным
u и v , в которых линейный элемент имеет вид :
(6.187)
... мы приходим к преобразованию,
подходящему для внутренности радиуса Шварцшильда :
(6.204)
Тогда как вне этой сферы :
(6.201)
*
*
Основное
требование состоит в том, чтобы f была регулярной на сфере Шварцшильда r = Rs.
Всё ещё из [1] :
*Таким образом,*u служит глобальной радиальной меткой, а v служит глобальной временной
меткой.
Кстати, из (6.187) нулевые геодезические (ds = 0) дают "постоянную скорость
света" :
(142)
Из (6.201) мы видим, что когда r стремится к бесконечности, f стремится к нулю, так
что Адлер, Шиффер и Базин говорят [1] :
Они, однако, не соответствуют сферическим координатам для плоского пространства на
асимптотическом расстоянии, как это делают координаты Шварцшильда.
Метрика Крускала также является несингулярным решением уравнения Эйнштейна
в этих областях и эквивалентна решению Шварцшильда, но не имеет
сингулярности на границе (сфере Шварцшильда). Это аналитическое
продолжение многообразия.
Крускал сосредоточивается на проблеме на этой границе, которая становится несингулярной,
сингулярность же сосредоточивается в "геометрическом центре", где
f стремится к бесконечности. Всё ещё используя ссылку [1], мы воспроизводим пассаж, посвящённый
радиальным траекториям фотона внутрь :
В терминах u , v траектория проста; в терминах же r и
t , однако, мы видим, что она начинается при некотором конечном r > Rs и конечном
x� , движется внутрь по направлению к r = Rs , когда x� стремится к бесконечности,
и пересекает линию x� = бесконечность к внутренности сферы Шварцшильда. После этого r продолжает уменьшаться вдоль траектории, но x� уменьшается. ... Настоящее рассмотрение также проясняет, что x� не является
разумной временной меткой внутри сферы Шварцшильда*.
Мы видим, что "нет ничего совершенного". Своим особым выбором координат
Крускал справляется с пересечением сферы Шварцшильда, замыкая сингулярную
особенность геометрического решения в "центральную сингулярность".
Но метрика перестаёт быть лоренцевой на бесконечности.
Это показывает, как выбор координат изменяет интерпретацию решения.
Наш вводит изменение "локальной топологии" (гипертороидальный
мост ), но вся сингулярность устраняется.
22)Возврат к вложению.
Теорема Винера-Грауштейна говорит, что любую n-мерную поверхность, при n >
2, можно вложить в пространство, минимальная размерность которого равна
(143)
Для 4-мерных гиперповерхностей это соответствует 10-мерному пространству. Мы знаем, что геодезические
геометрии Шварцшильда лежат в плоскостях. = p/2 соответствует одной из них. Тогда мы можем сосредоточиться на подмножестве (
= p/2) геодезических. Эти геодезические зависят от двух параметров l и h .
Мы знаем, что ( l =1 ) геодезические соответствуют частицам,
скорость которых равна нулю на бесконечности.. Кроме того, выберем подмножество ( = const ) геодезических. Тогда :
(144)
Введём дополнительную координату z и запишем :
(145)
ds 2
= dr 2 + dz 2
(146)
Дифференциальное
уравнение, решение которого :
(147)
Мы можем изобразить эти геодезические в 3-мерном [ z , r ,]
пространстве. Они являются меридианными линиями осесимметричной поверхности.
Рис.
27 : Меридиан поверхности, в которой производится изометрическое вложение****геодезических Шварцшильда ( = const).
В 3-мерном пространстве эта поверхность выглядит как на рисунке 28 (половинный разрез).
Рис.28 :
Поверхность вложения.
Если мы нарисуем на ней "радиальные" геодезические, мы получим рисунок 29.
Рис.29
: Представление "радиальных" геодезических. Внизу : их проекция
на плоскость [ r ,] .
Это очень частичное вложение, ибо оно ограничено множеством "радиальных"
геодезических. Рисунок 29 вызывает образ складки и наводит на мысль об энантиоморфии. В самом деле,
рассмотрим набор из трёх точек, следующих по радиальным геодезическим. Мы получаем
Рис.30-a
: Три точечные массы, падающие к горловине вдоль "радиальных" путей.
и :
**Рис.30-b
: То же, после пересечения горловины.
Треугольник
перевернулся.**
На плоской проекции [ r ,] ориентация
треугольника обращается.
Вообразим теперь четыре пробные частицы, следующих по радиальным траекториям, падающих к
сфере Шварцшильда и образующих тетраэдр. См. рисунок 31.
Рис.31 :
Четыре частицы, падающие на сферу Шварцшильда вдоль "радиальных"
геодезических в евклидовом 3-мерном пространстве представления.
Рис.32 :
После "отскока" от сферы Шварцшильда частицы движутся
в двойственном пространстве. Тетраэдр перевёрнут (энантиоморфия)
Вернёмся к предыдущему представлению. Вектор нормали также обращается :
Рис.33
: Особая геодезическая = const в её
представлении
Во множестве (l = 1) геодезических, в
( r ,, z ) пространстве.