Выворачивание тора наизнанку
9 декабря 2004 г.
страница 6
Нетривиальное выворачивание тора наизнанку
Ж.-П. Пети:
Comptes Rendus Académie des Sciences.
т. 293, заседание от 5 октября 1981 г., серия 1, стр. 269–272
Я ограничусь тем, что представлю последовательность рисунков без комментариев.
Нетривиальное выворачивание тора наизнанку. Первая часть преобразования
Нетривиальное выворачивание тора наизнанку. Вторая часть преобразования
Когда мы доходим до рисунка v, становится ясно, что затем легко совместить серую и розовую структуры, чтобы превратить этот объект в двуслойное накрытие бутылки Клейна.
Выворачивание наизнанку осуществляется путём обмена противоположными слоями. Ниже приведён тот же рисунок с цветовой кодировкой.
Двуслойное накрытие бутылки Клейна с цветовой кодировкой
(этот рисунок не входит в мой ежегодный отчёт в CNRS.
Его можно найти в «Топологиконе»)
Различные семейства торов.
В 1957 году Стивен Смейл доказал, что существует лишь одно семейство погружений сферы и что все они могут быть связаны друг с другом посредством гомотопии. Они образовывали группу, нейтральным элементом которой было сохранение объекта в неизменном виде. Возник вопрос, верно ли то же самое для тора. Математики Иоан Джеймс и Эмери Томас показали, что погружения тора распределяются по четырём «континентам», между которыми невозможно перейти с помощью регулярной гомотопии.
Четыре семейства торов
«Стандартный тор», изображённый в центре листа, принадлежит тому же семейству, что и объект, показанный на рисунке b. Именно это я продемонстрировал попутно в версии выворачивания тора наизнанку, которую я придумал в 1980 году. Семейство, обозначенное как a, представляет тор, подвергшийся скручиванию на 360°. Он похож на стандартный тор, но оба определяются через свою систему координатной сетки, задаваемую двумя семействами кривых. В стандартном торе используются два множества окружностей, аналогичных меридианам и параллелям. На торе a следует дополнить семейство окружностей, «наклеенных» на поверхность, вторым семейством, закрученным в обратном направлении. Можно показать, что с помощью регулярной гомотопии невозможно совместить сетку этого тора a с сеткой стандартного тора (меридианы плюс параллели). В этом смысле они представляют собой различные объекты. Все эти объекты, разумеется, могут быть представлены в виде двуслойного накрытия бутылки Клейна.
Сила инструментов геометра заключается в возможности предсказывать, что возможно, а что нет. Превратить стандартный тор в тор с рисунка b: да. Перейти от c к d: нет.
Это позволяет не тратить время понапрасну и, главное, побуждает искать то, что вовсе не очевидно, например, выворачивать сферу наизнанку. То же самое верно и для всех других наук. Иногда люди упускают плодотворные направления исследований на протяжении многих лет или даже столетий просто потому, что считали их невозможными. Я посвятил несколько лет своей жизни созданию теории подавления ударных волн вокруг объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью в газе, с помощью поля сил Лапласа, относящегося к «магнитной гидродинамике» (МГД). Один студент даже защитил под моим руководством диссертацию по этой теме, и мы опубликовали наши работы в различных рецензируемых журналах и научных конференциях. Эта тема только начинает привлекать внимание спустя тридцать лет. Есть подозрения, что американцы располагают гиперзвуковыми самолётами, способными летать со скоростью 10 Махов без образования ударной волны (и, в частности, без испытывания огромных термических нагрузок, связанных с пересжатием воздуха за этими «бамами»). Это знаменитый миф о самолёте «Аврора», летающем на высоте, где наблюдаются полярные сияния, то есть между 80 и 150 км. «Аврора» также является прообразом будущих космических носителей, которые, опираясь на воздух, будут гораздо экономичнее ракет CNES. Во Франции оказалось невозможным инициировать такие исследования (эти идеи пришли ко мне в 1975 году), потому что люди, особенно в CNRS, считали их совершенно неразумными. Результатом, на мой взгляд, стало тридцатилетнее отставание от Соединённых Штатов, которое полностью невосполнимо.
Табачная кисет
Для полноты картины следует упомянуть версии выворачивания сферы наизнанку, центральным объектом которых является табачная кисет. Это был распространённый предмет, когда я был молод, но сегодня его почти не встретишь. Первым, кто нарисовал эти последовательности, был Жорж Франсис. В последние годы я работаю над многогранной версией этих вариантов, которая уже дала довольно красивую центральную модель. Но чтобы показать её вам, мне нужно снова найти этот материал. Надеюсь, это произойдёт довольно скоро, поскольку это один из самых увлекательных объектов, которые я когда-либо создал.
Предыдущая страница Следующая страница
Вернуться к разделу «Новинки» Вернуться к руководству Вернуться на главную страницу
Количество просмотров этой страницы с 8 декабря 2004 г. :