Переворот сферы и погружение бутылки Клейна

Переворот сферы

7 декабря 2004 года

Страница 1

Введение.

В дальнейшем мы будем рассматривать замкнутые поверхности, такие как сфера, тор и некоторые другие. Это поверхности в том смысле, в каком их понимает обычный человек, то есть это объекты с двумя измерениями, которые представляются в трехмерном евклидовом пространстве R3, которое является нашим мысленным пространством представления. Эти поверхности могут быть представлены различными способами. Если они не пересекаются сами себя, то говорят, что они погружены (в R3). Если же они пересекаются, то говорят о погружении, и это пересечение будет представляться как наличие множества самопересечений (self-intersection).

В наших погружениях будем предполагать, что касательная плоскость изменяется непрерывно, и поверхность не имеет особенностей, таких как, например, вершина конуса. Наши поверхности будут регулярными.

В случае погружений мы будем требовать, чтобы вдоль линий самопересечения касательные плоскости к пересекающимся поверхностям были различны.

Мир геометрии, как его представляет математик, значительно отличается от физического мира. То, что поверхности могут самопересекаться, не вызывает у него никаких проблем. В физическом мире такое невозможно. Но в метафизическом мире это становится возможным. Таким образом, в Библии говорится, что когда мертвые воскреснут, они будут иметь "славные тела". Тогда они смогут проходить сквозь любые объекты и, в принципе, смогут проходить сквозь самих себя. Таким образом, когда наступит день Суда, если вы будете гулять по Риму в виде славного тела, и вы потерялись, и ищете площадь Навона, вы можете захотеть спросить дорогу у другого воскресшего человека, имеющего такую же внешность, как у вас. Допустим, человек, к которому вы обращаетесь, идет в противоположном направлении от этой площади. В обычном физическом пространстве ему придется повернуться, чтобы указать пальцем в нужном направлении. Но если он идет в виде славного тела, такой поворот уже не потребуется. Он может указать пальцем на пупок и пройти сквозь себя. Когда его рука появится, выйдя из его спины, ему останется только сказать вам: "туда". Вонзая руку в живот, он создаст в своей физической оболочке множество самопересечений, состоящее из двух окружностей, которое исчезнет, когда он вернется в свою обычную форму.

Если человек закроет рот, приложит зажим для носа к носу, чтобы закрыть его, и пренебрежет своими другими естественными отверстиями, его тело приобретет топологию сферы S2. Допустим, у воскресшего человека, который имеет форму славного тела, такие отверстия закрыты. Мы знаем, что он может пройти сквозь себя, то есть его тело может перейти от состояния погружения к состоянию погружения. Одной из метафизических задач, которая возникла, была проблема, может ли воскресший человек перевернуться, делая складки.

Небольшое замечание. Фокусники знают, как использовать "магические кольца", которые могут проникать друг в друга "магическим образом". Можно представить, что поверхности могут быть представлены с помощью какого-то "магического решета", где две поверхности, изображенные здесь черным и розовым цветом, могут проходить друг сквозь друга без затруднений.

Магическое решето

Во всяком случае, стоит признать, что часто между математикой и магией не так много различий. Давно, двадцать лет назад, я придумал комикс: "Топологикон". Он сейчас исчерпан и недоступен, кроме как как предмет коллекционирования. На одной из страниц можно было увидеть следующее:

Жаль, что издательство Belin решило отказаться от этой серии. Надо сказать, что с ценой производства чуть больше одного евро, продажа альбомов по 13 евро (плюс доставка), по почте, за пределами того, что оставляет прибыль в 12 евро, то есть с прибылью, превышающей 92 процента от цены продажи, не соответствует разумной коммерческой стратегии, особенно для черно-белых изданий.

Рассмотрим сферу S2, погруженную в R3. Предположим, что ее внешняя поверхность серая, а внутренняя — розовая. Мы можем нажать на два противоположных пункта, которые мы будем называть произвольно "северным полюсом" и "южным полюсом", до тех пор, пока они не коснутся в одной точке. Это можно сделать, например, с бубликом. Когда речь идет о математическом бублике (неизвестно, воскресают ли бублики в виде славных тел), две полярные области, после того как они коснулись в одной точке, могут пересекаться по кривой самопересечения, которая имеет форму окружности. Предварительно скажем, что эта поверхность претерпела катастрофу типа Do.

Можно попытаться перевернуть бублик, сферу, продолжая операцию. Но тогда образуется складка, которая превратится в неприятный изгиб, или точнее, в поверхность возврата (рисунок d).

В конце 50-х годов вопрос о том, можно ли перевернуть метафизические бублики без складок, оставался нерешенным. На самом деле, все считали, что это строго невозможно. Но в 1957 году математик Стивен Смейл (которому была присуждена медаль Филдса, но за совершенно другую работу) доказал, что различные погружения сферы S2 в R3 образуют один уникальный набор, и всегда возможно найти последовательность непрерывных деформаций погружений (которые также называются регулярными гомотопиями), позволяющих перейти от одного состояния к другому. Следствием этого было то, что можно было перейти с помощью непрерывной последовательности погружений от стандартного погружения сферы S2 к антиподному погружению. Проще говоря: можно было перевернуть сферу без складок, при условии, что ей разрешено перевернуться само.

У Смейла был учитель по имени Рауль Ботт. Он спросил своего ученика, как это сделать, и Смейл ответил, что у него нет ни малейшего представления, но что его теорема полностью непрерывна. Смейл не видел в пространстве, но это его не волновало (как это часто бывает у геометров). И, если говорить откровенно, после доказательства своей теоремы он не имел ни малейшего представления о том, как это можно реализовать, и быстро переключил внимание на другую тему, оставив своих коллег-математиков в полном замешательстве. Мне кажется, что это не очень мило — создавать проблемы и оставлять людей разбираться с ними, спустя десять лет.

Нужно признать, что трудно представить в уме погружения. Однако мы знаем, что существуют поверхности, которые могут быть представлены только таким образом в R3. Например, бутылка Клейна.

Бутылка Клейна

Ее здесь представили с помощью сетки-системы координат, состоящей из двух наборов замкнутых кривых, как у тора. Таким образом, можно сетовать бутылку Клейна без образования особенностей сетки. Но, как можно увидеть, эта поверхность обязательно самопересекается по замкнутой кривой, окружности. Поэтому нельзя погрузить...