Переворот сферы и погружение бутылки Клейна

Переворот сферы

7 декабря 2004 года

Страница 1

**Введение. **

В дальнейшем мы будем рассматривать замкнутые поверхности, такие как сфера, тор и некоторые другие. Это поверхности в том смысле, в каком их понимает обычный человек, то есть это объекты с двумя измерениями, которые представляются в трехмерном евклидовом пространстве, R3, которое является нашим пространством мышления. Эти поверхности могут быть представлены различными способами. Если они не пересекаются сами с собой, то говорят, что они погружены (в R3). Если же они пересекаются, то говорят о погружениях, и это пересечение будет представляться как множество самопересечений (self-intersection).

В наших погружениях мы предположим, что касательная плоскость непрерывно меняется, и поверхность не имеет особенностей, таких как, например, вершина конуса. Наши поверхности будут регулярными.

В случае погружений мы потребуем, чтобы вдоль линий самопересечения касательные плоскости к пересекающимся листам были различны.

Мир геометрии, как его представляет математик, значительно отличается от физического мира. То, что поверхности могут самопересекаться, не вызывает у него никаких проблем. В физическом мире такое невозможно. Но в метафизическом мире это становится возможным. Таким образом, в Библии говорится, что когда мертвые воскреснут, они будут иметь "славные тела". Тогда они смогут проходить сквозь любые объекты и, в принципе, смогут самопересекаться. Таким образом, когда наступит день Суда, если вы будете гулять по Риму в виде славного тела, и вы потерялись, и ищете площадь Навона, вы можете захотеть спросить дорогу у другого воскресшего человека, имеющего такое же внешнее вид, как и вы. Допустим, человек, к которому вы обращаетесь, идет в противоположном направлении от этой площади. В обычном физическом пространстве ему придется повернуться, чтобы показать пальцем в нужном направлении. Но если он идет в виде славного тела, такой поворот уже не потребуется. Он может указать пальцем на свой пупок и сам себя пересечь. Когда его рука появится, выйдя из его спины, ему останется только сказать вам: "туда". Продев руку через живот, он создаст в своей физической оболочке множество самопересечений, состоящее из двух окружностей, которое исчезнет, когда он вернётся в свою обычную форму.

Если человек закрывает рот, ставит зажим на нос, чтобы закрыть его, и игнорирует другие естественные отверстия, его физическая оболочка приобретает топологию сферы S2. Представим себе воскресшего существа, у которого такие отверстия закрыты. Мы знаем, что оно может самопересекаться, то есть его физическая оболочка может перейти из состояния погружения в состояние погружения. Одной из метафизических задач, которая возникла, было выяснение, может ли воскресшее существо перевернуться, не создавая складок.

Небольшое замечание. Фокусники знают, как использовать "магические кольца", которые могут проникать друг в друга "магическим образом". Можно представить себе представление поверхностей с помощью какого-то "магического решета", где две поверхности, представленные здесь черным и розовым цветом, могут пересекаться без затруднений.

Магическое решето

Во всяком случае, стоит признать, что часто между математикой и магией не так уж много различий. Давно, двадцать лет назад, я придумал комикс под названием "Топологикон". Он сейчас исчерпан и не найти, кроме как как коллекционный предмет. На одной из страниц можно было увидеть следующее:

Жаль, что издательство Belin решило отказаться от этой серии. Надо сказать, что с ценой производства чуть больше одного евро, продажа альбомов по 13 евро (плюс доставка), по почте, за пределами того, что оставляет прибыль в 12 евро, то есть с прибылью, превышающей 92 процента от цены продажи, не соответствует явной коммерческой стратегии, особенно для черно-белых.

Рассмотрим сферу S2, погруженную в R3. Предположим, что ее внешняя поверхность серая, а внутренняя — розовая. Мы можем нажать на два противоположных пункта, которые мы условно назовем "северным полюсом" и "южным полюсом", пока они не коснутся в одной точке. Это можно сделать, например, с бубликом. Когда речь идет о математическом бублике (мы не знаем, воскресают ли бублики или нет в виде славных тел), две полярные области, после того как они коснулись в одной точке, могут самопересекаться по кривой самопересечения, которая имеет форму окружности. Предвосхищая, скажем, что эта поверхность пережила катастрофу типа Do.

Можно быть соблазненным попытаться перевернуть бублик, сферу, продолжая операцию. Но тогда образуется складка, которая превратится в неприятный изгиб, или, точнее, в поверхность складки (рисунок d).

В конце 50-х годов серьезный вопрос о том, можно ли перевернуть метафизические бублики без складок оставался нерешенным. На самом деле, все считали, что это строго невозможно. Но в 1957 году математик Стивен Смейл (которому была присуждена медаль Филдса, но за другую работу) доказал, что различные погружения сферы S2 в R3 образуют один уникальный набор и всегда возможно найти последовательность непрерывных деформаций погружений (также называемых регулярными гомотопиями), позволяющих перейти от одного состояния к другому. Следствием этого было то, что мы должны были иметь возможность перейти с помощью непрерывной последовательности погружений от стандартного погружения сферы S2 к антиподному погружению. Проще говоря: мы должны были иметь возможность перевернуть сферу без складок, при условии, что мы позволим ей самой перевернуться.

У Смейла был наставник по имени Рауль Ботт. Он спросил своего ученика, как это сделать, и Смейл ответил, что у него нет ни малейшего представления, но что его теорема полностью непререкаема. Смейл не видел в пространстве, но это его не волновало (как это часто бывает у геометров). И, если быть честным, после доказательства своей теоремы он безразлично относился к тому, как можно реализовать это, и быстро переключился на другую тему, оставив своих коллег-математиков в полном замешательстве. Я считаю, что это не очень мило создавать проблемы и оставлять людей разбираться с ними, спустя десять лет.

Нужно признать, что трудно представить себе погружения в уме. Однако мы знаем, что существуют поверхности, которые можно представить только таким образом в R3. Например, бутылка Клейна.

Бутылка Клейна

Здесь она представлена с помощью сетки-системы координат, состоящей из двух наборов замкнутых кривых, как и тор. Таким образом, можно нанести сетку на бутылку Клейна без образования особенностей сетки. Но, как можно увидеть, эта поверхность обязательно самопересекается по замкнутой кривой, окружности. Поэтому нельзя погрузить...