Переворот Сферы
Переворот Сферы
7 декабря 2004
страница 3
**Элементарные катастрофы. **
Мы уже говорили выше, что погружения, которые мы рассматривали, были такими, что касательные плоскости вдоль их множества самопересечений, если они имели место, оставались различными. Тогда возможно перейти от одного погружения к другому с помощью четырех элементарных катастроф. Морин дал им названия, которые указаны на приведенных ниже рисунках. Первая приводит к созданию замкнутой кривой (и ее уничтожению, обратная операция). Это происходит, когда вы погружаете локоть в воду в раковине, чтобы оценить ее температуру (слева). Рисунок a4: поверхности касаются в одной точке. На a5 создана кривая самопересечения. В дальнейшем мы будем называть эту операцию "катастрофой локтя".
"Катастрофа локтя": создание - уничтожение замкнутой кривой
Вторая катастрофа - это "слой мандарина":
**Катастрофа, состоящая в создании-уничтожении "слоя мандарина". **
Если внимательно посмотреть на эти изображения, то, двигаясь слева направо, вы увидите, как параболический цилиндр приближается к двугранному углу. Множество самопересечений состоит из двух параболических кривых, разделенных, и, конечно, ребра двугранного угла. На центральном рисунке ребро двугранного угла касается одной из образующих цилиндра. Это ребро касается цилиндра в этой точке. Множество самопересечений состоит из двух параболических кривых, касающихся в одной точке, и ребра двугранного угла. На правом рисунке параболический цилиндр продолжил свое движение. Кривая самопересечения изменилась. Она состоит из ребра двугранного угла, плюс параболические кривые, пересекающиеся в двух точках, расположенных на ребре двугранного угла. Можно также считать, что параболический цилиндр неподвижен, а два "плоскости сечения" двигаются. Правый рисунок, таким образом, может напоминать два удара топором или два среза, сделанные пилой. Стружка также изображена. Морин сравнивал ее с "слоем мандарина", очень выразительным образом.
Третья катастрофа - это "штаны".
Катастрофа "штанов"
Изображения достаточно ясны. Слева направо, штаны опускаются в воду. Слева птица проходит под штанами, но рыба остается в одной из штанин. Справа рыба проходит, но путь, которым пользовалась птица, исчез. В центре промежуточное положение. Важно то, что локальное изменение кривой пересечения соответствует тому, что называется "хирургией", изменением соединения дуг кривой. Попробуйте хорошо усвоить эту трансформацию, которая окажется самой сложной для реализации и хорошо видной в гомотопии переворота сферы. Запомните, что эта катастрофа закрывает один проход, одновременно открывая другой в перпендикулярном направлении.
Четвертая и последняя катастрофа - это "инверсия тетраэдра":
Катастрофа, инвертирующая тетраэдр
Кривая самопересечения состоит из четырех "прямых", которые являются продолжениями четырех сторон тетраэдра. На левом рисунке изображен этот тетраэдр, который показывает свои серые грани наружу. Справа наоборот: грани розовые. В центре промежуточное положение: тетраэдр уменьшен до точки Q (четырехкратной, так как она является пересечением четырех поверхностей).
С помощью этих четырех катастроф мы будем рассматривать переворот сферы посредством непрерывной последовательности трансверсальных погружений. Эта вариация принадлежит математику (слепому) Бернарду Морину. Наша встреча заслуживает рассказа. Однажды техник из факультета гуманитарных наук попросил меня использовать мои художественные способности для лектора, который должен был говорить о геометрии. Я пришел на это свидание без всякой осторожности. Я всегда был достаточно ловким, чтобы видеть объекты в пространстве, и когда наш преподаватель математики давал нам задачу по начертательной геометрии, я чертил пересечение и предоставлял перспективный вид одновременно с тем, как он произносил условие. Но здесь все будет иначе.
Я не имел трудностей с рисованием приведенных выше рисунков. Но когда пришлось включить их в схему, связанную с переворотом сферы, я в конечном итоге окончательно потерял голову, сталкиваясь с целым рядом поверхностей, расположенных одна за другой. Обиженный, я вернулся к этому странныму человеку, который, хотя и был лишён зрения, казался более уверенным, чем я, в этом раскрытии форм. Я затем посещал его занятия в течение нескольких месяцев. Диалог был довольно сложным. С его стороны он имел только слово. С моей стороны я мог либо описать ему мои рисунки, либо передать ему модели, сделанные дома, или позже на месте. Нужно было записать эти диалоги, абсолютно сюрреалистичные, вроде:
*- Попробуй представить две кривые, которые соединятся, образуя что-то вроде веника для взбивания яиц. *
Несмотря на сложную личность этого человека, эти встречи остались незабываемыми для меня. Я просто привык принимать две аспирина перед нашими занятиями, в профилактических целях. Его характер можно кратко описать прозвищем, данным его женой: "Благословенный гром", который является персонажем комикса Эрже "Тинтин в Тибете". Ненависть Морина имела столь же легендарный, как и необратимый характер. Иногда он упоминал некоторых из своих врагов, которые ушли из жизни, говоря о них следующее:
- Иногда я бросаю им маленькое проклятие в загробной жизни, думая, что если это не причинит им вреда, то, по крайней мере, не принесет им пользы.
Предыдущая страница Следующая
страница
Вернуться
к руководству Вернуться
на главную страницу
Количество просмотров этой страницы с 8 декабря 2004 :