Вращение сферы

Вращение сферы

7 декабря 2004

страница 3

**Элементарные катастрофы. **

Мы уже говорили выше, что погружения, которые мы рассматривали, были такими, что касательные плоскости вдоль их множества самопересечений, если они имели такие, оставались различными. Тогда возможно перейти от одного погружения к другому с помощью четырех элементарных катастроф. Морин дал им названия, которые указаны на приведенных ниже рисунках. Первая приводит к созданию замкнутой кривой (и ее уничтожению, обратная операция). Это происходит, когда вы погружаете локоть в воду в раковине, чтобы оценить ее температуру (слева). Рисунок a4: поверхности касаются в одной точке. На a5 создана кривая самопересечения. В дальнейшем в тексте мы будем называть эту операцию "катастрофой локтя".

"Катастрофа локтя": создание - уничтожение замкнутой кривой

Вторая катастрофа - это "катастрофа мандарина":

Катастрофа, состоящая в создании-уничтожении "катастрофы мандарина".

Если внимательно посмотреть на эти изображения, то, двигаясь слева направо, мы увидим, как параболический цилиндр приближается к двугранному углу. Множество самопересечений состоит из двух параболических кривых, не пересекающихся, а также, конечно, ребра двугранного угла. На центральном рисунке ребро двугранного угла касается одной из образующих цилиндра. Это ребро касается цилиндра в этой точке. Множество самопересечений состоит из двух параболических кривых, касающихся в одной точке, и ребра двугранного угла. На правом рисунке параболический цилиндр продолжил свое движение. Кривая самопересечения изменилась. Она состоит из ребра двугранного угла, плюс параболические кривые, пересекающиеся в двух точках, расположенных на ребре двугранного угла. Можно рассматривать и обратную ситуацию: параболический цилиндр неподвижен, а два "плоскости сечения" перемещаются. Тогда правый рисунок будет напоминать два удара топором, или два среза, сделанных пилой. Стружка также изображена. Морин сравнивал ее с "кружком мандарина", очень выразительным образом.

Третья катастрофа - это "катастрофа штанов".

Катастрофа "штанов"

Изображения достаточно ясны. Слева направо, штаны опускаются в воду. Слева птица проходит под штанами, но рыба остается в одной из штанин. Справа рыба проходит, но проход, по которому проходила птица, исчез. В центре - промежуточное положение. Важно то, что локальное изменение кривой пересечения соответствует тому, что называется "хирургией", изменением соединения дуг кривой. Попробуйте хорошо осознать эту трансформацию, которая окажется самой сложной для реализации и хорошо видимой в гомотопии вращения сферы. Запомните, что эта катастрофа закрывает один проход, одновременно открывая другой в перпендикулярном направлении.

Четвертая и последняя катастрофа - это "инверсия тетраэдра":

Катастрофа, инвертирующая тетраэдр

Кривая самопересечения состоит из четырех "прямых", которые являются продолжениями четырех сторон тетраэдра. На левом рисунке изображен этот тетраэдр, который показывает свои серые грани наружу. Справа наоборот: грани розовые. В центре - промежуточное положение: тетраэдр сокращен до точки Q (кратной, поскольку она является пересечением четырех поверхностей).

С помощью этих четырех катастроф мы будем рассматривать вращение сферы посредством последовательности непрерывных трансверсальных погружений. Эта вариация принадлежит математику (слепому) Бернарду Морину. Наша встреча заслуживает рассказа. Однажды техник из факультета гуманитарных наук попросил меня использовать мои художественные способности для лектора, который должен был говорить о геометрии. Я пришел на это свидание без всякой осторожности. Я всегда был достаточно ловким, чтобы видеть объекты в пространстве, и когда наш преподаватель математики давал нам задачу по начертательной геометрии, я чертил пересечение и предоставлял перспективный вид одновременно с тем, как он произносил условие. Но на этот раз все будет иначе.

Я не имел трудностей с рисованием приведенных выше рисунков. Но когда пришлось включить их в схему, связанную с вращением сферы, я в конечном итоге потерял голову, сталкиваясь с целым рядом поверхностей, расположенных одна за другой. Обиженный, я вернулся к этому странныму человеку, который, хотя и был слепым, казался более уверенным, чем я, в этом раскрытии форм. Затем я посещал его курсы в течение нескольких месяцев. Диалог был довольно сложным. С его стороны он имел только возможность говорить. С моей стороны я мог либо описать ему мои рисунки, либо передать ему модели, сделанные дома или позже на месте. Нужно было записать эти диалоги, абсолютно сюрреалистичные, вроде:

*- Попробуй представить две кривые, которые соединятся, образуя что-то вроде веника для взбивания яиц. *

Несмотря на сложную личность этого человека, эти встречи остались для меня незабываемыми. Я просто привык принимать две аспирина перед нашими занятиями, как профилактическая мера. Его характер можно кратко описать прозвищем, которым его окрестила жена: "Благословенный гром", который является персонажем комикса Эрже "Тинтин в Тибете". Злоба Морина была столь же легендарной, как и необратимой. Иногда он упоминал некоторых своих врагов, которые ушли из жизни, и говорил о них следующим образом:

- Иногда я бросаю им маленькое проклятие в другом мире, думая, что если это не причинит им вреда, то, по крайней мере, не принесет им пользы.

Предыдущая страница Следующая
страница

Вернуться
к руководству Вернуться
на главную страницу

Количество просмотров этой страницы с 8 декабря 2004 года :