Переворот сферы математические катастрофы

Переворот сферы

8 декабря 2004 г.

Страница 4

Версия Бернара Морина

Для загрузки версии pdf статьи 1979 г. Б. Морина и Ж.П. Петита, опубликованной в Pour la Science

Переворот сферы (2,8 Мб)

Мы начинаем с сферы, которая показывает свою серую сторону наружу, а розовую — внутрь. На b и c мы приводим её полюсы в контакт. Затем слои проникают друг в друга по "катастрофе локтя". Создаётся замкнутая кривая самопересечения. Внизу и справа три полукруга позволяют лучше понять полученную конфигурацию. На этом этапе сфера похожа на какой-то "воздушный плот", круглый, с "бульваром" и "полом" с двойной стенкой.

Первая стадия: "катастрофа локтя". Создание замкнутой кривой самопересечения

Вторая операция: новая катастрофа локтя, создание второй замкнутой кривой.

Второе создание замкнутой кривой самопересечения.

Для этого "воздушный плот" согнулся, с вращательным движением, что позволило привести две части "бульвара", диаметрально противоположные, в контакт. Следующее изображение — результат двух катастроф, приведших к созданию "срезов мандарина".

После создания двух "срезов мандарина"

Слева были сделаны разрезы в модели. В центре — как два цилиндра, локально, сечения которых влияют на форму греческой буквы "гамма", проникли друг в друга. Напомним, что катастрофа создания "срезов мандарина" осуществлялась путём разрезания "бревна" двумя плоскостями, образующими двугранник. Каждая из цилиндрических структур, сечения которых имеют форму "гамма", включает в себя как округлую часть, так и двугранник. Посмотрите внимательно на рисунок i. В j нарисовано всё самопересечение. Самая большая часть замкнутой кривой происходит от первой "катастрофы локтя", которая превратила сферу в "воздушный плот". После создания двух срезов мандарина мы получаем более сложную структуру, j — это подмножество. В j" мы видим, что эта структура может быть сравнена с соединением двух "срезов мандарина" на двух рёбрах тетраэдра, не смежных между собой.

Всё это однажды станет гораздо проще понять, когда я смогу создать анимацию. Это технически не представляет никакой проблемы. Это просто вопрос времени. Редки люди, которые могут не только видеть в пространстве, то есть читать это кодирование, использующее линии, пунктир, цвета, тени и отражения, но и последовательно представлять в уме преобразования, воображая движение, которое подразумевается. Я надеюсь, что однажды у меня будет время сделать все эти вещи. Обратите внимание, что можно использовать полиэдрические модели, как я делал, чтобы показать, как можно превратить Crosscap в поверхность Боя. Это будущее. Но эти модели нужно придумать. Далее вы найдете оптимизированную полиэдрическую версию центральной модели этой трансформации, придуманной Бернаром Морином (напомним, что он слепой!), с тем, как её можно построить самостоятельно, используя вырезание.

Почему я не развил эти идеи дальше? Я бы сказал: из-за отсутствия "рынка". Нет математических журналов, которые принимают такие работы. Мы смогли это сделать в 1975-78 годах через несколько заметок в Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, которые, без сомнения, не были прочитаны многими. Но это было потому, что академик Андре Лихнерович лично интересовался этими работами. Он умер. Так как эти работы были полностью завершены уже в 1975 году, было бы желательно создать анимационный фильм на основе моих рисунков. Работая в анимации, я был полностью способен координировать такую работу. Но было невозможно найти финансирование в CNRS, и в конечном итоге американский математик Нельсон Макс, вдохновлённый моделями, созданными его коллегой Чарльзом Пугом (из той же версии переворота сферы), используя мощный компьютер, смог создать первый фильм. Но это не первый и не последний раз, когда французы, не получив никакого отклика на свои усилия, уступили место своим иностранным коллегам, лучше организованным и лучше поддерживаемым.

Перейдём к третьей фазе, самой сложной для понимания.

Подготовка двух катастроф "штанов"

На рисунке k хорошо видны два конца "ног штанов", детали которых представлены на переднем плане k'. Белая стрелка указывает на проход "между ногами". Эта трансформация действительно трудно воспринимается. Я добавил рисунок m, чтобы лучше объяснить. В l я изобразил с помощью пунктирных линий кривую самопересечения, которая представлена целиком в l'. Проход (тот, который проходит через белую стрелку) закроется. Это движение закрытия будет сопровождаться подъёмом части кривой пересечения в двух местах. Эти концы кривой придут в контакт, каждый из них на одной из линий, принадлежащих "срезам мандарина". Когда контакт произойдёт, произойдёт хирургическая операция. Сложность заключается в том, что, увидев четыре элементарных катастрофы на предыдущей странице, необходимо уметь их трансформировать под любыми углами, поворачивая шею, если нужно. На n изображён критический момент, когда происходит хирургия (так называемое "среднее положение" трансформации), и когда способ соединения концов кривой изменится. Известно, что эта катастрофа "штанов" закрывает один проход и открывает другой. Начальный проход изображён белой стрелкой. Но существует другой, который можно увидеть под тем же углом, если повернуть модель на 180 градусов вокруг вертикальной оси. Эти стрелки образуют одну. До того, как произойдут эти катастрофы, ещё возможно передвигаться в этом "свёрнутом воздушном плоту". Когда эти катастрофы произойдут, этот проход станет невозможным. Вместо этого будут созданы два других прохода. Но где, какие части пространства затронуты? Эти проходы соединят внутреннюю часть срезов мандарина с внешней. На l' вы видите эти срезы мандарина. Перейдём к следующему этапу.

Закрытие прохода. К двойной критической ситуации

В o изображены две катастрофы "штанов" в двух различных стадиях. Один из проходов полностью закрыт. Мы находимся в критическом положении, прямо перед тем, как дуги кривой изменят способ соединения. Справа (деталь на рисунке o') проход только начинает закрываться. Таким образом, внешний вид кривой самопересечения o" различен слева и справа. На рисунках p, p' и p" критическое положение (среднее положение трансформации) достигнуто с обеих сторон. На следующей доске хирургические операции уже произошли. Трубы...