Переворот сферы математическая катастрофа

Переворот сферы

8 декабря 2004 г.

Страница 4

Версия Бернара Морина

Для скачивания версии PDF статьи 1979 г. Б. Морина и Ж.П. Петита, опубликованной в Pour la Science

Переворот сферы (2,8 Мб)

Мы начинаем с сферы, которая показывает свою серую сторону наружу, а розовую — внутрь. На b и c мы приводим её полюсы в контакт. Затем слои взаимопроникают по "катастрофе локтя". Создаётся замкнутая кривая самопересечения. Внизу и справа три полукруга позволяют лучше понять полученную конфигурацию. На этом этапе сфера похожа на какой-то "воздушный плот", с "бульваром" и "полом" с двойной стенкой.

Первая стадия: "катастрофа локтя". Создание замкнутой кривой самопересечения

Вторая операция: новая катастрофа локтя, создание второй замкнутой кривой.

Второе создание замкнутой кривой самопересечения.

Для этого "воздушный плот" согнулся, с вращательным движением, что позволило привести две части "бульвара", диаметрально противоположные, в контакт. Следующее изображение — результат двух катастроф, приведших к созданию "срезов мандарина".

После создания двух "срезов мандарина"

Слева были сделаны разрезы в модели. В центре — как два цилиндра, локально сечение которых влияет на форму греческой буквы "гамма", взаимопроникли. Напомним, что катастрофа создания "срезов мандарина" происходила при разрезании "бревна" двумя плоскостями, образующими двугранник. Каждая из цилиндрических структур, сечение которых представляет "гамму", содержит как округлую часть, так и двугранник. Посмотрите внимательно на рисунок i. В j нарисовано всё самопересечение. Самая большая часть замкнутой кривой происходит от первой "катастрофы локтя", которая превратила сферу в "воздушный плот". После создания двух срезов мандарина мы получаем более сложную структуру, j которой является подмножеством. В j" видно, что эта структура может быть сравнена с соединением двух "срезов мандарина" на двух ребрах тетраэдра, не смежных между собой.

Всё это однажды станет намного проще воспринимать, когда я смогу произвести анимацию. Это не представляет для меня технической проблемы. Это просто вопрос времени. Редко кто может не только видеть в пространстве, то есть читать это кодирование, использующее линии, пунктир, цвета, тени и отражения, но и последовательно в уме представлять преобразования, воображая движение. Я надеюсь, что однажды у меня будет время сделать все эти вещи. Обратите внимание, что можно было бы использовать полиэдрические модели, как я делал, чтобы показать, как можно превратить Crosscap в Surface de Boy. Это и есть будущее. Но эти модели нужно изобретать. Следующая часть содержит оптимизированную полиэдрическую версию центральной модели этой трансформации, придуманной Бернаром Морином (напомним, что он слепой!), с описанием того, как можно самостоятельно собрать её из вырезанного материала.

Почему я не развил эти идеи дальше? Я бы сказал: из-за отсутствия "рынка". Нет математических журналов, которые принимают такие работы. Мы смогли сделать это в 1975-78 годах через несколько заметок в Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, которые, вероятно, никто не читал. Но это было потому, что академик Андре Лихнерович лично интересовался этими работами. Он умер. Так как эти работы были полностью завершены уже в 1975 году, было бы желательно создать анимационный фильм на основе моих рисунков. Работая в анимации, я мог бы полностью координировать такую работу. Но невозможно было найти финансирование в CNRS, и в конечном итоге американский математик Нельсон Макс, вдохновлённый моделями, созданными его коллегой Чарльзом Пугом (из той же версии переворота сферы), используя мощный компьютер, смог создать первый такой фильм. Но это не первый и не последний раз, когда французы, не получив никакого отклика на свои усилия, уступили пальму первенства своим иностранным коллегам, лучше организованным и лучше поддержанным.

Перейдём к третьей фазе, самой сложной для восприятия.

Подготовка двух катастроф "штанов"

На рисунке k хорошо видны два конца "ног штанов", детали которых представлены в переднем плане k'. Белая стрелка указывает на проход "между ногами". Эта трансформация действительно трудно воспринимается. Я добавил рисунок m, чтобы лучше объяснить. В l я изобразил пунктиром кривую самопересечения, которая представлена целиком в l'. Проход (тот, который проходит по белой стрелке) закроется. Это движение закрытия будет сопровождаться подъёмом части кривой пересечения в двух местах. Эти концы кривой придут в контакт, каждый на одной из линий, принадлежащих "срезам мандарина". Когда контакт произойдёт, хирургия будет проведена. Сложность заключается в том, что, когда вы видели четыре элементарные катастрофы на предыдущей странице, вы должны быть в состоянии перевести их под любым углом, поворачивая шею, если это необходимо. На n изображён критический момент, когда хирургия проводится (так называемое "среднее положение" трансформации), и когда способ соединения концов кривой будет изменён. Известно, что эта катастрофа "штанов" закрывает один проход и открывает другой. Начальный проход изображён белой стрелкой. Но существует другой, который можно увидеть под тем же углом, если повернуть модель на 180 градусов вокруг вертикальной оси. Эти стрелки образуют одну. До того, как произойдут эти катастрофы, ещё возможно передвигаться по этому "самоходному плоту". Когда эти катастрофы произойдут, этот проход станет невозможным. Вместо этого появятся два других прохода. Но где, какие части пространства затронуты? Эти проходы соединят внутреннюю часть срезов мандарина с внешней. На l' вы видите эти срезы мандарина. Перейдём к следующему этапу.

Закрытие прохода. К двойной критической ситуации

В o представлены две катастрофы "штанов" на двух разных этапах. Один из проходов полностью закрыт. Мы находимся в критическом положении, непосредственно перед тем, как дуги кривой изменят способ соединения. Справа (деталь на рисунке o' ) проход только начинает закрываться. Таким образом, внешний вид кривой самопересечения o" различен слева и справа. На рисунках p, p' и p" критическое положение (среднее положение трансформации) достигнуто с обеих сторон. На следующей доске хирургические операции уже произошли. Трубы...