Инверсия тора Клейна

Инверсия тора

9 декабря 2004 г.

Страница 6

Нетривиальная инверсия тора **
**Ж.П.Петит: ** **
Отчеты Академии наук.
том 293, заседание 5 октября 1981 г., серия 1, стр. 269-272

Я ограничусь представлением следующих рисунков, не комментируя их.

Нетривиальная инверсия тора. Первая часть преобразования

Нетривиальная инверсия тора. Вторая часть преобразования

Когда вы достигаете рисунка v, вы видите, что теперь легко совместить серую и розовую структуры, чтобы превратить этот объект в двойную накладку бутылки Клейна.

Инверсия происходит тогда путем обмена слоями. Ниже, тот же рисунок с цветовым кодированием.

Двойная накладка бутылки Клейна с цветовым кодированием

(этот рисунок не входит в мой ежегодный отчет в ЦНР. Его можно найти в Topologicon)

Различные семейства торов.

То, что доказал Стивен Смейл в 1957 году, заключалось в том, что существовала только одна семья вложений сферы, и все они могли быть связаны между собой гомотопией. Эти вложения образовывали группу, нейтральный элемент которой заключался в том, чтобы оставить объект без изменений. Спросили, будет ли то же самое и для тора. Математики Иоан Джеймс и Эмери Томас показали, что вложения тора распределялись по четырём континентам, между которыми невозможно перейти с помощью регулярной гомотопии.

Четыре семейства торов

"Стандартный тор", нарисованный в центре листа, принадлежит к тому же семейству, что и объект, изображённый на b. Это я показал в своём варианте инверсии тора, который придумал в 1980 году. Семейство, о котором идёт речь, представляет собой тор, который подвергся вращению на 360°. Он похож на стандартный тор, но оба определяются своим картографическим набором, с использованием двух семей кривых. В стандартном торе используются два набора окружностей, аналогичных меридианам и параллелям. На торе a следует дополнить семью окружностей, приклеенных к нему, второй семьёй, вращающейся в обратном направлении. Тогда можно показать, что невозможно, с помощью регулярной гомотопии, совместить решётку этого тора a с решёткой стандартного тора (меридиональные и параллельные окружности). Именно в этом смысле это разные объекты. Все эти объекты, конечно, могут быть представлены как двойная накладка бутылки Клейна.

Мощь геометрических инструментов заключается в том, чтобы предсказывать, что возможно, а что нет. Преобразовать стандартный тор в тор, изображённый на рисунке b: да. Перейти от c к d: нет.

Это избавляет от траты времени впустую и особенно побуждает искать вещи, которые вовсе не очевидны, как, например, инвертировать сферу. Это так во всех науках. Иногда люди пропускают плодотворные подходы в течение лет или даже столетий, просто потому, что считали их невозможными. Я посвятил несколько лет своей жизни созданию теории подавления ударных волн вокруг объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью в газе, с помощью поля Лапласа, "МГД". Студент даже написал диссертацию по этой теме под моим руководством, и мы опубликовали эти работы в различных рецензируемых журналах и научных конференциях. Это тема, которая только начинает проявляться, спустя тридцать лет. Подозревают, что американцы имеют гиперзвуковые самолёты, способные летать на Махе 10, не создавая ударных волн (и, в частности, не испытывая чрезвычайных термических нагрузок, связанных с рекомпрессией воздуха за этими "хлопками". Это знаменитый миф об Aurora, самолёте, летающем на высоте, где происходят северные сияния, между 80 и 150 км высоты. Aurora также является предварительной версией будущих космических ракет, которые, опираясь на воздух, будут гораздо более экономичными, чем ракеты ЦНР. В Франции было невозможно начать такие исследования (у меня были эти идеи в 1975 году), потому что люди, особенно в ЦНР, считали их полностью нелогичными. Результатом является тридцатилетний отставание по сравнению с США, которое, на мой взгляд, невозможно наверстать.

Шутка с табаком

Для полноты необходимо упомянуть версии инверсии сферы, в центре которых находится шутка с табаком. Это был объект, который был распространён, когда я был молод, но сейчас, вероятно, его почти не встретишь. Первым, кто нарисовал эти последовательности, был Джордж Фрэнсис. В последние годы я работаю над полихедральной версией этих версий, которая уже дала довольно красивую центральную модель. Но, чтобы показать вам это, мне нужно будет найти её. Надеюсь, довольно скоро, потому что это один из самых захватывающих объектов, которые я когда-либо создавал.

Предыдущая страница Следующая страница

Вернуться к руководству Вернуться на главную страницу

Количество просмотров этой страницы с 8 декабря 2004 г. :

Изображения