Переворот бутылки Клейна

Переворот тора

9 декабря 2004 г.

Страница 6

Нетривиальный переворот тора **
**Ж.П. Пети: ** **
Отчеты Академии наук.
том 293, заседание 5 октября 1981 г., серия 1, стр. 269-272

Я ограничусь представлением последующих рисунков, не комментируя их.

Нетривиальный переворот тора. Первая часть преобразования

Нетривиальный переворот тора. Вторая часть преобразования

Когда вы достигаете рисунка v, вы видите, что теперь легко совместить серую структуру и розовую структуру, чтобы превратить этот объект в двойную оболочку бутылки Клейна.

Переворот происходит тогда путем обмена слоями. Ниже, тот же рисунок с хроматическим кодированием.

Двойная оболочка бутылки Клейна с хроматическим кодированием

(этот рисунок не входит в мой ежегодный отчет в CNRS. Его можно найти в Topologicon)

Различные семейства торов.

То, что доказал Стивен Смейл в 1957 году, заключалось в том, что существовала только одна семья погружений сферы, и все они могли быть связаны между собой гомотопией. Эти погружения образовывали группу, нейтральный элемент которой заключался в том, чтобы оставить объект без изменений. Спросили, будет ли так же для тора. Математики Иоан Джеймс и Эмери Томас показали, что погружения тора распределялись по четырем континентам, между которыми невозможно перейти с помощью регулярной гомотопии.

Четыре семейства торов

"Стандартный тор", нарисованный в центре листа, принадлежит к тому же семейству, что и объект, изображенный в b. Это я показал в своей версии переворота тора, которую я придумал в 1980 году. Семейство, упомянутое в a, представляет собой тор, который подвергся вращению на 360 градусов. Он похож на стандартный тор, но оба определяются своим картографическим набором, с использованием двух семей кривых. В стандартном торе используются два набора окружностей, аналогичных меридианам и параллелям. На торе a следует дополнить семейство окружностей, приклеенных к нему, второй семьей, вращающейся в обратном направлении. Тогда можно показать, что невозможно с помощью регулярной гомотопии привести сетку этого тора a в совпадение с сеткой стандартного тора (меридиональные и параллельные окружности). Именно в этом смысле это разные объекты. Все эти объекты, очевидно, могут быть представлены как двойная оболочка бутылки Клейна.

Сила геометрических инструментов заключается в том, чтобы предсказывать, что возможно, а что нет. Перевести стандартный тор в тор, изображенный на рисунке b: да. Перейти от c к d: нет.

Это избавляет от траты времени впустую и особенно вдохновляет на поиск вещей, которые вовсе не очевидны, как, например, переворот сферы. Это так во всех науках. Иногда люди упускают плодотворные подходы в течение лет или даже столетий, просто потому, что считали их невозможными. Я посвятил несколько лет своей жизни построению теории устранения ударных волн вокруг объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью в газе, с помощью поля Лапласа, "MHD". Студент даже написал диссертацию по этой теме под моим руководством, и мы опубликовали эти работы в различных рецензируемых журналах и научных конференциях. Это тема, которая только начинает проявляться, спустя тридцать лет. Предполагают, что американцы обладают гиперзвуковыми самолетами, способными летать на Махе 10 без создания ударной волны (и, в частности, без подвергания чрезвычайным тепловым нагрузкам, связанным с рекомпрессией воздуха за этими "ударами". Это знаменитый миф об Aurora, самолете, летающем на высоте, где происходят северные сияния, между 80 и 150 км высоты. Aurora также является предварительным вариантом будущих космических ракет, которые, опираясь на воздух, будут значительно экономичнее ракет CNES. В Франции было невозможно начать такие исследования (у меня были эти идеи в 1975 году), потому что люди, особенно в CNRS, считали их полностью нелогичными. Результатом является тридцатилетний отставание по сравнению с США, которое, на мой взгляд, невозможно наверстать.

Шутка с табаком

Для полноты необходимо упомянуть версии переворота сферы, в центре которых находится шутка с табаком. Это был объект, который был распространен, когда я был молод, но сегодня его, вероятно, уже не часто встречают. Первым, кто нарисовал эти последовательности, был Джордж Фрэнсис. В последние годы я работаю над полиэдрической версией этих версий, которая уже дала довольно красивую центральную модель. Но, чтобы показать вам это, мне нужно будет найти ее снова. Надеюсь, довольно скоро, потому что это один из самых захватывающих объектов, которые я когда-либо создавал.

Предыдущая страница Следующая страница

Вернуться к руководству Вернуться на главную страницу

Количество просмотров этой страницы с 8 декабря 2004 г. :

Изображения