Предложение семинара по космологии
2 ноября 2006 года
Геометризация космологической модели Андрея Сахарова
Ж.П. Пети и Г. Д’Агостини
2 ноября 2006 года
Нобелевский лауреат Андрей Сахаров мало известен своими работами в области космологии ( [1], [2], [3] ). Один из авторов ( [7], [8], [9], [10], [11] ) с 1977 года работал в той же области, не зная о его трудах, о которых узнал лишь в 1984 году, когда в Франции был опубликован сборник под названием «Андрей Сахаров, научные труды» [4], первоначально издававшийся на английском языке в 1982 году [5].
Схематически определив эту модель, предполагающую T-симметрию, Андрей Сахаров излагает свою главную заботу: объяснить отсутствие антиматерии в нашем наблюдаемом вселенной. После рассмотрения T-симметрии Сахаров выбирает космологические модели, симметричные относительно CPT [6].
Мы будем геометрически интерпретировать эту идею, используя следующие инструменты:
- Динамические группы
- Пространство импульсов (двойственное к алгебре Ли группы)
(см. источник: «Структура динамических систем», Ж.М. Сурья, 1972 [12])
Исходя из группы Пуанкаре — группы изометрий пространства Минковского. Число компонент импульса равно размерности группы, то есть десяти.
Эти компоненты группируются следующим образом:
- Одна компонента — энергия E
- Три компоненты — вектор импульса
- Три компоненты образуют то, что Сурья называет «переходом»
- Остальные три компоненты образуют «вращение»
(такой подход позволяет рассматривать спин как чисто геометрический объект, см. источник [12], стр. 181)
Группа Лоренца имеет четыре связные компоненты.
- Первая — нейтральная компонента группы, не меняет ни пространство, ни время.
- Вторая — меняет пространство (P-симметрия), но не время.
- Третья — меняет время, но не пространство (T-симметрия).
- Четвёртая — меняет и пространство, и время (PT-симметрия).
Сурья объединяет две первые компоненты группы Лоренца, образуя то, что он называет ортохронным подгруппой L₀. Элементы этой подгруппы, действуя на определённое движение, сохраняют ориентацию времени. Оставшиеся компоненты образуют антохронный подмножество Lₐ, элементы которого меняют время (T-симметрия).
Группа Пуанкаре, построенная на основе группы Лоренца с добавлением пространственно-временных трансляций, также имеет четыре связные компоненты.
Исследование действия полной группы Пуанкаре (с четырьмя компонентами) на пространстве импульсов показывает, что T-симметрия приводит к изменению знака энергии (см. источник [12], стр. 197, «инверсии пространства и времени», соотношения (14.67)).
Калуца показал, что свойство релятивистской материальной точки иметь электрический заряд эквивалентно включению её движения в пространство с дополнительной измерением вида:
t, x, y, z, z
Точка такого «пространства Калуцы» соответствует вектору:
Группа динамики, связанная с этой геометрией, — центральное расширение группы Пуанкаре. Действие этой группы на пространстве Калуцы можно представить матрично следующим образом:
L — матрица (4,4), элемент группы Лоренца, размерностью шесть.
C — четырёхвектор, соответствующий пространственно-временной трансляции.
f — скаляр. Центральное расширение группы Пуанкаре имеет размерность 11. Это также по определению число компонент импульса. Таким образом, включение движения релятивистской материальной точки в пространство с дополнительной измерением, измерением Калуцы, придаёт импульсу дополнительную скалярную компоненту:
электрический заряд q
Действие этой группы на пространстве импульсов вводит дополнительное соотношение, отражающее сохранение электрического заряда:
q′ = q
Чтобы проявить C-симметрию, нужно перейти к группе, имеющей восемь связных компонент, элемент которой будет записан как:
Исследуя действие группы на её импульсах, действие на электрический заряд становится:
Мы вновь находим (см. источник [13] «Геометрия и относительность», стр. 413) тождество между зарядовой сопряжённостью и инверсией измерения Калуцы. Таким образом, у нас перед глазами чёткая геометрическая интерпретация C-симметрии.
Как уже говорилось, группа Пуанкаре:
содержит элементы, реализующие симметрии P, T и PT. Рассмотрим подмножество L₀ — ортохронное подмножество группы Лоренца.
Это удобный способ представления элемента группы Лоренца, выделяя элементы ортохронного подгруппы (m = +1) и элементы антохронного подмножества (m = -1). Элемент группы Пуанкаре можно переписать следующим образом:
Антохронные компоненты группы Пуанкаре или её центрального расширения предполагают существование движений частиц с отрицательной энергией. Встреча таких частиц с частицами с положительной энергией привела бы к полному уничтожению.
Вселенная, как мы её понимаем, состоит из частиц с ненулевой массой и частиц с нулевой массой — фотонов (не предполагая нулевую или ненулевую массу нейтрино). Все эти частицы — лишь особые движения релятивистской материальной точки.
Если принять, что на движение действует вся группа, это наводит на мысль о существовании:
- частиц с ненулевой массой и отрицательной энергией
- фотонов с отрицательной энергией
С точки зрения физики кажется трудно представить сосуществование объектов с положительной энергией и их T-симметричных объектов с отрицательной энергией. Отсюда у нас возникла идея рассмотреть пространство движений, несвязное.
Как и Сахаров, возьмём в основу вселенную, состоящую из двух листов, CPT-симметричных относительно
Мы можем перевести эту идею на язык групп, введя индекс листа f = ±1.
Рассмотрим следующую группу и её действие на пятимерном несвязном пространстве.
В этой конструкции CPT-симметрия (инверсия z и x) совместно с инверсией индекса листа (f → –f).
Вычисление сопряжённого действия приводит к:
P — четырёхвектор импульса-энергии.
Если пространство движений, соответствующее f = 1, содержит частицы с положительной энергией, то элемент группы, соответствующий m = –1, инвертирует координату f (смена листа), энергию E, импульс p, электрический заряд q и приводит к CPT-симметрии.
Дуальность материи и антиматерии (C-симметрия) присутствует в каждом из двух листов.
Таким образом, у нас есть геометрическое описание модели, первоначально предложенной Андреем Сахаровым.
Теперь мы можем попытаться уточнить природу пространства-границы, соединяющей два листа (f = +1 и f = –1). Одна из размерностей должна исчезнуть.
В нашем мире существуют движения, которые получаются друг из друга при P-симметрии. Пример: два фотона с одинаковой энергией, но противоположной спиральностью (явление поляризации света).
C-симметрия также действует в нашем мире (доказанное существование антиматерии, как в космических лучах, так и в коллайдерах).
Однако ни одна экспериментальная проверка или наблюдение не позволили обнаружить частицы с отрицательной энергией.
Энергия — скаляр, связанный с инвариантностью относительно трансляций...