Предисловие к статье, опубликованной в 1994 году в журнале Nuovo Cimento
Начало этого исследования относится к 1977 году. Две заметки в «Комптендус» Парижской академии наук:
Ж.П. Пети: «Энантиоморфные Вселенные с противоположными стрелами времени», CRAS от 8 мая 1977 г., т.285, стр. 1217–1221
Ж.П. Пети: «Вселенная, взаимодействующая со своим отражением в зеркале времени», CRAS от 6 июня 1977 г., т. 284, серия А, стр. 1413–1416
В последующей статье мы пытались установить точечное соответствие (инволютивное отображение) между точками окрестности Земли (в космологическом масштабе) и соответствующими точками второго мира (который мы называем «близнецовой Вселенной»: twin universe, или «тень-Вселенная»: shadow universe, или «призрачная Вселенная»: ghost universe — термины, эквивалентные в нашем понимании), используя соотношение
антиподальности
, что предполагало исходную гипотезу о топологии геометрического объекта. Позже мы осознали, что это не обязательно, поскольку локальную структуру (F, F*) можно определить как двулистное накрытие «скелетной многообразия». Структура тогда оказывается двулистным накрытием проективного пространства P3, эквивалентного трёхмерному аналогу проективной плоскости P2, более известной, поэтому наиболее известным представлением является поверхность, открытая австрийцем Вернером Бойем в 1902 году (см. рис. 184; по сути, анимация, когда сайт будет полностью готов).
Бой был учеником великого математика Гильберта, который выразил большую удовлетворенность изобретением своего ученика. По маленькой истории, после своего открытия Бой покинул университет, и о нём больше не было слышно. Все попытки историков найти его следы оказались безуспешными. Неизвестно, умер ли он от тяжёлой простуды или закончил жизнь сантехником.
Геометры знают, что все точки сферы S2 можно совместить с проективной плоскостью P2, как обсуждалось на рис. 10 в следующей статье. Северный полюс таким образом совмещается с южным полюсом, а экватор наматывается на себя по псевдоэкватору поверхности Боя, также указанному. Двулистное накрытие показано на рис. 11 статьи. Отметим, по крайней мере в двух измерениях, что эта операция приводит к совмещению энантиоморфных объектов, зеркальных друг другу. Рис. 12 и 13 — наглядные изображения, показывающие, как зерна (глобулы) будут располагаться в пустотах антиподальной области.
Эта система двулистного накрытия может быть расширена до трёх и даже четырёх измерений с использованием трёхмерной и четырёхмерной сфер S3 и S4, покрывающих соответственно проективные пространства P3 и P4.
Прежде чем двигаться дальше, можно познакомить читателя с геометрией этой странной поверхности Боя. Кроме того, читатель найдёт различные варианты объекта в «Топологиконе» (Изд. Белин, 1984).
Что, конечно, может удивить читателя, — это то, что эта поверхность пересекает сама себя по множеству самопересечений, представляющему собой трёхлистную кривую, напоминающую винтовую линию корабля:
На этом рисунке слева сделано отверстие, чтобы показать тройную точку, где пересекаются три листа. Эта поверхность кажется действительно особенной. На самом деле этот объект — отличный пример, иллюстрирующий концепцию пространства представления (3D), упомянутую выше.
Тройная точка T и кривая самопересечения возникают исключительно из способа представления проективной плоскости P2 в R3. Сфера, тор могут быть
погружены
в R3, то есть допускают представление, топологически эквивалентное, при котором поверхность не пересекает сама себя. Однако невозможно
погрузить
проективную плоскость P2 в R3. Можно лишь
вложить
(иммерсировать). Следовательно, изображение выше (поверхность Боя) является
вложением
проективной плоскости в R3. Вложение двумерного объекта — это способ представления в R3, при котором появляется линия двойных точек (кривая самопересечения), вдоль которой находятся два касательных плоскости, а также определённое количество тройных точек, где пересекаются три листа. Поверхность Боя — лишь один из бесконечного числа способов вложить проективную плоскость P2 в R3. Другие представления можно найти в статье, которая будет включена в сайт под названием «Разные лица проективной плоскости».
Очень легко получить изображения поверхности Боя с помощью параметрического представления, которое мы изобрели и опубликовали
---> Читатель найдёт на подсайте МАТЕМАТИКА, в частности, воспроизведение заметки, опубликованной в 1981 году в «Комптендус» Парижской академии наук вместе с Ж. Сурио (нет, это не знаменитый математик, а его сын Жером, ставший позже информатиком), с такой ссылкой:
«Аналитическое представление поверхности Боя», Заметка в «Комптендус» Парижской академии наук, т. 293 (5 октября 1981), серия 1, стр. 269–272
В ней показано, что поверхность обладает эллиптическими меридианами. Эта особенность позволяет легко её построить. Ниже — программа, приведённая на обложке моего комикса «Топологикон».
Программа BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 :
P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI
STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794
- SIN (6*MU -P3)
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A *
A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU)
: SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO
6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE)
: TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC -
TS
210 Z1 = C2 + TC +
TS
250 REM VOICI LES
3 COORDONNEES
300 X = X1 * CM -
Z1 * SA * SM
310 Y =Y1 * SM + Z1
- SA * CM
350 REM INTRUCTION
POUR AFFICHER LES POINTS
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT
MU
На память, именно открытие возможности представления этой поверхности с помощью эллиптических меридианов позволило позже математику Апери получить первое представление в виде неявной функции шестого порядка:
f (x , y ,z) = 0
которое мы не будем воспроизводить (оно довольно сложное, и мы уверены, что существуют более простые, но это будет предметом другого документа, который будет включён в сайт МАТЕМАТИКА).
Бутылка Клейна более известна читателям. Также невозможно погрузить её в R3. В её классической форме она представляет собой вложение с множеством пересечений, представляющим собой простую замкнутую кривую.
Двулистное накрытие поверхности Клейна — это тор T2, точно так же, как двулистное накрытие поверхности Боя (проективной плоскости P2) — это сфера S2. Читатель, интересующийся поверхностью Боя, может найти трёхмерную модель в одной из залов Пала де ла Декуври в Париже, модель, которую мы заказали у художника-пластико-вика Макса Созе на основе более грубого образца, который мы создали сами.
При таких операциях двулистного накрытия меридианы и параллели объектов «обвиваются вокруг самих себя». Например, можно показать, что происходит с «параллелями» тора (связанными также с изображением погружения):
При таком погружении тора параллельные кривые явно не являются геодезическими поверхности (за исключением «кольца горла»). Аналогичная ситуация для меридианов тора, которые являются геодезическими его погружения...