6
Мы не будем писать компоненты момента группы Баргмана. Схематически запишем момент группы Баргмана следующим образом:
J B = { скаляр m , плюс другие компоненты момента }
Сопряженное действие
показывает, как преобразуются различные компоненты момента. Но это сопряженное действие начинается с простого соотношения:
(63)
m' = m
Сопряженное действие группы Баргмана на ее момент начинается с сохранения массы, которая таким образом приобретает чисто геометрический статус.
Построение сопряженного действия группы Пуанкаре на ее пространстве моментов J p.
Если вы уже полностью запутались, лучше пропустите. Это нормально, и с каждой страницей это будет становиться все сложнее. На данном этапе я уже не уверен, кому предназначено то, что следует. Наверное, теоретическим физикам или математикам, но, скорее всего, не плотникам-кровельщикам. Однако студенты из высших учебных заведений или бакалавриата по физике, которые будут настойчиво следовать, смогут понять. Это всего лишь матрицы.
Все начинается с группы матриц размером (4,4), которые составляют группу Лоренца, элемент которой - L.
Эти матрицы определяются аксиоматически через матрицу G:
(64)
по формуле:
(65)
t L G L = G
включающей транспонированную матрицу L.
Матрицы L образуют группу.
Доказательство.
Нейтральный элемент - L = 1:
Пусть L1 и L2 - два элемента множества. Проверим, что произведение L1 L2 принадлежит группе. Если это так:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
Но:
t (AB) = tB tA
Поэтому:
t (L1 L2) G L1 L2 = tL2 tL1 G L1 L2 = tL2 (tL1 G L1) L2 = tL2 G L2
Теперь вычислим обратную матрицу L. Начнем с аксиоматического определения элементов L:
tL G L = G
Умножим справа на L-1:
tL G L L-1 = G L-1 => tL G = G L-1
Умножим слева на G:
G tL G = G G L-1 => G tL G = L-1
Следовательно, обратная матрица к L:
L-1 = G tL G
То есть:
(66)
вектор пространства-времени. Матрица G происходит из метрики Минковского, которую можно тогда записать (при c = 1):
(67)
Упражнение: показать, что обратная матрица подчиняется:
(68)
Затем вводится вектор пространственно-временного сдвига:
(69)
Из которого строится элемент g p группы Пуанкаре:
(70)
Упражнение: показать, что это образует группу и вычислить обратную матрицу:
(71)
Вот "вектор касательной к группе, элемент ее "алгебры Ли":
(72)
Из этого мы будем вычислять антисопряженное действие:
(73)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
В целях удобства вычислений заметим, что:
(74)
G d L - это антисимметричная матрица. Назовем ее:
(75)
поэтому:
(76)
Положим:
(77)
Из этого материала мы составим антисопряженное действие:
(78)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
После всех вычислений мы получим отображение:
(79)
Если вы хотите пропустить этот раздел простых матричных вычислений, обратитесь к уравнению (80), внизу страницы
(79a)
(79b)
откуда элементы антисопряженного действия:
(79c)
но:
(79d)
поэтому:
(79e)
но
GG = 1
поэтому:
(79f)
отсюда получаем отображение:
(79g)
Это и есть искомое антисопряженное действие, отображение:
(80)
Вернуться к подразделу "группы и физика"