7
Элемент
g
p группы Пуанкаре
Gp определяется последовательностью параметров {
p
i},
число которых, как мы уже говорили, представляет собой
размерность группы
. Матрица
d g
(g = e)
состоит из величин
{
dp
i} . Следовательно, вышеуказанное отображение имеет вид:
(81)
Иными словами, каждому набору скаляров
dp
i
соответствует такой же набор скаляров
dp
i
'.
Дуальность заключается в предположении инвариантности
скаляра, согласно:
(82)
n - размерность группы (десять для группы
Пуанкаре). Скаляры Ji представляют компоненты
момента, того же числа.
Мы решили разложить этот момент
J
на два объекта. Первый будет анти-симметричной матрицей
M
размерности (4,4), то есть имеющей шесть компонент, а второй - "четырехвектором"
P, матрицей размерности (4,1) :
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Мы запишем скалярное произведение в виде
:
(85)
Tr означает "след из", и мы еще будем иметь:
(86)
линейная форма, инвариантность которой обеспечивает дуальность.
с:
(87)
(87b)
(87c)
но
GG
= 1
поэтому это равно:
(88)
Определим члены в
y (89)
То есть:
(90)
----> Здесь снова следуют детали матричных вычислений. Если вы хотите,
нажав здесь
, вы можете перейти напрямую к результату
В следе можно произвести циклическую перестановку членов.
(90a)
(90b)
(90c)
второй член правой части равен произведению
матрицы строки на матрицу столбца.
Это равно следу обратного произведения
(ниже, схематически, произведение матрицы строки на
матрицу столбца):
(90d)
В этом следе я могу произвести циклическую перестановку:
(90e)
Отсюда:
(90f)
(90g)
Здесь мы снова применим теорему
о следах матриц, которые являются произведением другой матрицы на
симметричную матрицу.
Любая матрица может быть симметризованной
или антисимметричной. Кроме того, след произведения матрицы
на симметричную матрицу равен нулю.
(90h)
Я могу применить это к матрице (90i)
поскольку мы берем след
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
но:
(90l)
поэтому
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
и:
(90q)
наконец:
(90r)
Сгруппировав и поменяв штрихи местами,
я получаю свою групповую операцию :
Изображения
Вернуться к подразделу "группы
и физика"