8
(91)
Это сопряжённое действие может быть записано в матричной форме.
Матрица группы Пуанкаре:
(92)
её транспонированная матрица:
(93)
Рассмотрим матрицу:
(94)
То есть мы будем представлять импульс
(95)
Jp = {
M,
P }
в матричной форме и образуем произведение:
(96)
(97)
(98)
которое я могу идентифицировать с матрицей:
(99)
Jp является моментом группы Пуанкаре, представленным в матричной форме. И сопряжённое действие записывается как:
(100)
В качестве упражнения читатель может, опираясь на аксиомы, проверить, что это действительно
действие
.
Момент группы Пуанкаре может быть представлен следующим образом:
(101)
Эта матрица является антисимметричной (что означает, что её главная диагональ состоит из нулей).
M- это матрица:
(102)
Раскроем её:
(103)
Это действительно антисимметричная матрица, гипотеза, выдвинутая с самого начала, зависящая от шести параметров:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Последние три ( fx , fy , fz ) являются компонентами вектора, вектора-
переноса f
:
(105)
Первые три ( lx , ly , lz ) являются независимыми компонентами антисимметричной матрицы (3,3), вращения
l
:
(106)
Таким образом:
(107)
Вектор
P
является
четырёхвектором импульса-энергии
:
(108)
Тогда можно явно представить момент группы Пуанкаре, в общем виде:
(109)
Проверяется, что это действительно объект из десяти компонент (число, равное количеству измерений группы).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p
, f , l
}
Вернуться к подразделу "Группы и физика"