12
Частицы с ненулевым спином и массой.
Больше нет прямой связи между энергией и импульсом, как это наблюдается у фотонов и нейтрино — частиц с нулевой массой.
(131)
где m — масса покоя, совпадающая с массой, вытекающей из группы Баргмана, имеем:
(132a)
(132b)
Ограничимся следующими частицами:
протон
электрон
нейтрон
и их античастицы.
Частицы обладают различными зарядами, характеристиками, которые также не возникают из группы Пуанкаре:
-
электрический заряд e = ±1
-
барионный заряд cB = ±1
-
лептонный заряд cL = ±1
-
мюонный заряд cm = ±1
-
тау-заряд ct = ±1
-
гиромагнитный коэффициент
Инверсия всех этих величин соответствует C-симметрии. Поэтому всё это можно объединить в следующую таблицу:
(133)
которая может иметь любое направление, как и спин.
Магнитный момент равен гиромагнитному коэффициенту v, умноженному на спин s.
(134)
Здесь мы использовали жирную букву s для обозначения спина. Это означает, что направление спина частиц может быть любым. Однако его модуль является одной из их характеристик и фундаментально инвариантен (геометрическая квантованность вращения частиц).
C-симметрия, сопряжение зарядов, инвертируя гиромагнитный коэффициент v, инвертирует также и магнитный момент. При этом спин остаётся неизменным.
Постоянные магниты.
Если поместить кусок мягкого железа в достаточно сильное магнитное поле, а затем уменьшить его, металл сохранит постоянную намагниченность. Что произошло?
Магнитное поле выравнивает спины электронов, которые ведут себя как мини-магниты, маленькие магнитные диполи.
Но почему они сохраняют направление, которое им было задано? Из-за подражания. Каждый электрон выравнивается по магнитному полю, создаваемому соседями. И, поскольку все остальные делают то же самое, все эти моменты сохраняют параллельность. Это своего рода «Панург космический». Пока не нагреем кусок металла или не ударим по нему — тогда мы в конечном итоге нарушим эту прекрасную электронную упорядоченность.
Магнитный момент антиматерии.
Сопряжение зарядов, связанное с преобразованием материи — антиматерии в смысле Дирака (об этом будет сказано далее), приводит к инверсии магнитного момента из-за инверсии гиромагнитного коэффициента, при этом спин остаётся неизменным.
Конечно, эта C-симметрия не изменяет ни энергию, ни импульс частицы.
Четыре компоненты группы Лоренца.
Как уже было показано, элемент L группы Лоренца L определяется аксиоматически. Он должен удовлетворять:
(135)
(136)
Любая матрица L, удовлетворяющая этому определению, принадлежит группе L. Это матрица размером (4,4), которая, например, может действовать на:
(137)
то есть на пространство-время. Тогда возникает вопрос: не могут ли эти матрицы осуществлять симметрии в этом пространстве? Например, можно ли поменять x на -x? Не могут ли матрицы быть разделены на различные подмножества — те, которые выполняют это преобразование, и те, которые не выполняют?
Давным-давно (на английском — many beautiful candles ago), всё это было исследовано, и было показано, что группа Лоренца на самом деле состоит из четырёх типов матриц.
Ln — те, которые не инвертируют ни пространство, ни время.
Ls — те, которые инвертируют пространство.
Lt — те, которые инвертируют время.
Lst — те, которые инвертируют и пространство, и время.
Такие множества называются компонентами группы. Таким образом, группа Лоренца — это группа, состоящая из четырёх компонент.
Мы можем сразу привести четыре матрицы, каждая из которых принадлежит указанному подмножеству:
(138)
An = 1 (нейтральный элемент) принадлежит Ln — не инвертирует ни пространство, ни время.
As принадлежит Ls — инвертирует пространство.
At принадлежит Lt — инвертирует время.
Ast принадлежит Lst — инвертирует и пространство, и время.
Чтобы образовать группу (в данном случае — подгруппу группы Лоренца), необходимо, чтобы множество матриц содержало нейтральный элемент 1 в заданном формате (n,n), здесь — (4,4). Только матрицы из множества Ln удовлетворяют этому критерию. Они образуют подгруппу группы Лоренца. Поскольку это множество содержит нейтральный элемент группы, его называют также нейтральной компонентой группы. Остальные множества матриц не образуют подгрупп (невозможно: они не содержат нейтрального элемента).
Замечание:
(139)
At = -As Ast = -An
Тогда можно рассмотреть множество Lo = Ln ∪ Ls, которое является подгруппой группы Лоренца и называется ортохронной [1]. Матрицы Lac = Lt ∪ Lst не образуют группу, но множество компонент, связанных с инверсией времени, называется антохронной [12]. Полная группа Лоренца имеет вид:
(140)
L = Lo ∪ Lac
Однако можно также заметить, что элемент:
(141)
mLo, где m = ±1
охватывает полную группу.
Возврат к подразделу «Группы и физика»