13
Четыре компоненты группы Пуанкаре.
Из группы Лоренца строится группа Пуанкаре, уже упомянутая:
(142)
C — вектор «пространственно-временного сдвига».
(143)
Группа Пуанкаре также имеет четыре компоненты, каждая из которых связана с соответствующей компонентой группы Лоренца.
Выше — действие группы на её пространстве движений. Но интерес представляют действия четырёх компонент на импульс. См.: Сурио, «Структура динамических систем», Дюно, 1973 (и Бирхёузер, 1997, на английском), глава III, стр. 197, раздел, озаглавленный:
Инверсии пространства и времени.
Напомним компоненты импульса, связанные с группой Пуанкаре:
E — энергия
p — импульс
f — прохождение
l — вращение
Чтобы быть ближе к обозначениям Сурио, обозначим:
-
L_n — нейтральная компонента группы Лоренца.
-
L_s — та, что инвертирует пространство.
-
L_t — та, что инвертирует время — L_st — та, что инвертирует оба.
Поскольку C — пространственно-временной сдвиг, четыре компоненты группы Пуанкаре:
g_p (L_n, C) — нейтральная компонента
g_p (L_s, C) — инвертирует пространство
g_p (L_t, C) — инвертирует время
g_p (L_st, C) — инвертирует пространство и время.
Исследуем влияние на компоненты импульса. Нам нужно рассмотреть формулы, описывающие действие группы на пространстве импульсов:
(144)
P — четырёхвектор:
(145)
Матрицы, подлежащие анализу, можно записать так:
(146)
где l = ±1 и m = ±1.
L_n = L(l = 1; m = 1)
L_s = L(l = -1; m = 1)
L_t = L(l = 1; m = -1)
L_st = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
Перейдём к анализу действия на вращение и прохождение.
(149)
Но в том, что нас интересует, C = 0
(150)
следовательно,
l' = l и f' = l m f
Отсюда следует:
(151)
g_p (L_n, C):
I E → E; p → p; f → f; l → l
g_p (L_s, C):
I E → E; p → -p; f → -f; l → l
g_p (L_t, C):
I E → -E; p → p; f → -f; l → l
g_p (L_st, C):
I E → -E; p → -p; f → f; l → l
Инверсии никогда не меняют вращение l.
В то же время инверсия времени и инверсия энергии E → -E — синонимы.
Вращение (когда оно квантуется) синонимично спину. Ни одна из инверсий его не меняет.
Спин (в качестве модуля вектора вращения частицы) — это просто число.
Энергия покоя частицы — mc².
Инверсия времени — синоним инверсии массы m.
Пространственная инверсия не меняет массу.
Две первые компоненты группы называются Сурио ортохронными, а две последние — антихронными.
Он отмечает, что всё это порождает проблему отрицательных масс, которую физики не любят. Действительно, что будет, если две частицы с энергиями +mc² и -mc² столкнутся? Происходит полное уничтожение. Это не просто аннигиляция материи и антиматерии, которая даёт фотоны. Здесь речь идёт о процессе, приводящем к ничему в чистом виде.
Чтобы избежать этой проблемы с отрицательными массами, Сурио рассматривает два решения. Первое — просто решить, что частицы с отрицательной массой не существуют. Второе — исключить антихронные преобразования.
Перефразируя, можно сказать:
— Бог, в своей безграничной мудрости...
Продолжим формировать элементы, которые станут отправной точкой для нашего собственного исследования.
Возврат к подразделу «группы и физика»