Воспоминание
работы Жана-Марии Сорио
о динамике
солнечной системы.
Эта
работа была представлена автором на конференции, проходившей в Геневской обсерватории в 1989 году, темой которой
было:
"Резонансы
и нерезонансы в солнечной системе"
Исходной
точкой для Сорио является анализ периодов орбит
различных планет. Затем он выбирает период Земли: 365 дней и период Венеры: 225 дней и вычисляет, как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения соответствующую последовательность Фибоначчи (или последовательность типа Фибоначчи, где каждый член является суммой двух предшествующих). Известно, что при этих условиях отношение двух последовательных чисел этой последовательности стремится к золотому сечению.
Сорио
получает следующее:
30
Солнце
(29 дней)
55
Ничего
85
Меркурий
(88 дней)
140
Ничего
225
Венера 365
Земля
590 (1 год и семь
месяцев)
Марс
(1 год и 10 месяцев)
955
Ничего
1545 (4 года и 3 месяца)
Церера-Паллада
(астероидный пояс)
2500
Ничего
4045 (11 лет)
Юпитер
(11 лет и 10 месяцев)
6545
Ничего
10590 (29 лет)
Сатурн
(29 лет и 5 месяцев)
17135
Ничего
27725 (76 лет)
Уран
(84 года)
44860
Ничего
72585 (199 лет)
Нептун
(165 лет), Плутон (248 лет)
Совпадение
довольно впечатляющее, признаем. Затем Сорио изучает резонансы
между планетами. Для этого необходимо иметь тест, измеряющий,
является ли отношение x двух периодов, находящееся между нулем и единицей, "близким" к несократимой дроби:
Давно
такой тест был разработан математиками (Лиувилль, Гурвиц, Борель и др.). Это число
:
q
( x , q) = (знаменатель)
2 x I
x - q
I
Обозначая как
q
(x) его нижнюю границу, когда
q
пробегает множество рациональных чисел,
q
равно нулю, если x рационально, маленькое, если x близко к рациональному; таким образом, оно измеряет иррациональность x. Тогда "самыми иррациональными" числами являются золотое сечение:
и его квадрат:
w 2
= 1 -
w
= 0,3820...
Можно увидеть это на диаграмме, показывающей функцию
q
Фиг.1: Диаграмма
функции
q
с двумя пиками, соответствующими числам "менее резонирующим":
золотое сечение и
его квадрат.
Эта
функция
q
(не имеющая ничего общего с
наблюдательными данными) является чисто "математическим объектом", свойством, возникающим из последовательности действительных чисел. Эта непрерывная последовательность выделяет тогда этот странный спектр, заполненный как бы промежутками (там, где находятся отношения целых чисел, рациональных чисел, где
q
= 0).
Ниже
приведены периоды обращения основных планет
солнечной системы, в годах:
Меркурий:
0,2408425
Венера:
0,6151866
Земля:
1,0000000
Марс:
1,8808155
Церера-Паллада
: 4,604
Юпитер:
11,86178
Сатурн:
29,45665
Уран:
84,0189
Нептун:
164,765
Плутон:
247,68
Обратите внимание, что отношение между периодами Плутона и Нептуна равно
:
Отношение одного из этих членов к следующему остается в пределах от 1/3 до 2/3. Пять из этих девяти отношений находятся между 0,35 и 0,40. Затем Сорио начинает изучать отношения между периодами различных
планет. Две планеты, находящиеся в идеальной резонансе, приведут к отношению их периодов, которое будет рациональным числом, частным двух целых чисел.
Сорио
решает проанализировать различные резонансы в
текущем состоянии солнечной системы. Для этого он берет
отношения периодов вращения основных планет, по две, и применяет вышеуказанный тест.
Простой
расчет позволяет ему составить список резонансов между
крупными планетами (Церера и Паллада — самые крупные из "малых планет", их периоды отличаются всего на 3 дня и находятся в пояса астероидов), у которых тест
q
меньше 0,1 (знаменатель
? 6). :
Нептун-Плутон: x = 2/3 x 0,9980
q
= 0,01
Уран-Нептун: x =
1/2 x 1,0199 q
= 0,04
Уран-Плутон: x = 1/3
x 1,0176
q
= 0,05
Венера-Марс: x = 1/3 x 0,9812
q
= 0,06
Юпитер-Сатурн: x =
2/5 x 1,0067 q
= 0,07
Эта
таблица показывает, что две самые удаленные планеты, Нептун и Плутон, демонстрируют особенно сильные резонансы. Таким образом, они образуют "особую пару" по сравнению с другими, и Сорио решает игнорировать их в последующем анализе, выполняя анализ Фурье периодов:
Pj
— это периоды планет, от Меркурия до
Урана. Соотношения последовательных периодов находятся между 1/3
и 2/3. Ниже приведен график, иллюстрирующий форму кривой IF(a)I для
a, изменяющегося от 1/3 до 2/3. Для лучшей читаемости Сорио представил на графике IF(a)I
4
.
Фигура 2: Функция
F(a)
Два
значимых пика появляются для значений 0,615 и 0,380, точно совпадающих с пиками на рисунке 1 (
w
= 0,618 и
w 2
= 0,380). Сорио затем накладывает этот спектр на функцию
q
:
Фигура 3.
и делает вывод о
общем эффекте нерезонанса, за исключением резонирующей пары Нептун-Плутон. Сдвиг F между двумя пиками можно интерпретировать как обратное преобразование Фурье: начиная с определенного количества линий ak, выбранных в спектре F, мы строим функцию F:
Значения Pj становятся близкими к определенным максимумам действительной части F. Затем Сорио ограничивает этот спектр двумя линиями a1 =
w
и a2 =
w 2
и получает кривую на следующем рисунке, где также указаны реальные периоды планет.
Фигура 4: Возможное
расположение планет
на основе спектра, построенного
на основе двух линий
w
и
w 2