f5101

Аналитическое представление поверхности Боя

Ж.П. Пети и Ж. Суриау

.

Ниже приведено воспроизведение заметки в «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences» Парижа, подписанной Ж.П. Пети и Ж. Суриау, датированной 1981 годом.

Эта работа имеет свою историю. До появления моей книги «Topologicon», изданной издательством Belin, в серии «Aventures d'Anselme Lanturlu», в 1985 году, представления поверхности Боя в специализированных изданиях были редкими. Здесь и там можно было найти фотографии моделей, выполненных из гипса или из проволочной сетки. Чарльз Пуг, из отдела математики университета Беркли, является неоспоримым мировым специалистом по проволочной сетке. Именно с этим материалом он получил важную финансовую премию, создав модели, описывающие переворот сферы по Бернарду Морину, которые затем были цифровизированы Нельсоном Максом и превращены в фильм, распространённый по всем математическим отделам мира.

Но я считаю, что проволочная сетка — это всё-таки не очень достойный материал, особенно для таких высококачественных научных тем. Знакомясь с художником по имени Макс Созе, я осваивал технику медной проволоки, которая одновременно гибкая и жёсткая, которую Макс аккуратно паял, стараясь не перегревать, чтобы не создавать в материале ненужных напряжений.

Мой друг Жак Булиер, известный как Васселин, тогда был профессором в Высшей школе изобразительных искусств Ау в Провансе. Однажды он предложил мне заменить одного из своих преподавателей, уехавшего за границу, что я и сделал, обеспечивая полставки вместе с Созе. Пока я придумывал предметы, Макс их паял. Наши студенты, окружавшие нас, с любопытством старались копировать нас. В тот год это крыло школы изобразительных искусств Ау в Провансе превратилось в своего рода фабрику по производству математических поверхностей.

Если вы хотите попробовать, это несложно. Вам понадобится катушка медной проволоки, например, диаметром в полтора миллиметра, максимум два, и кусачки. С ними вы сможете изобразить две семейства кривых, составляющих любую поверхность.

Проблема в том, чтобы правильно сформировать эти объекты. Для этого хорошо бы иметь возможность скользить точками соединения, где пересекаются «меридианы» и «параллели». Хорошее решение — просто связать два металлических провода швейной нитью. Это достаточно плотно, чтобы обеспечить устойчивость объекта, но достаточно гладко, чтобы позволить деформации и настройки.

Это только тогда, когда вы считаете, что объект математически соответствует вашим пожеланиям, вы можете передать его кому-то, умеющему паять серебро с ловкостью и знающему, как паять, не нагревая стержни, что Макс делал с мастерством.

Однажды я принёс прототип поверхности Боя, открыв, как должны были располагаться меридианы и параллели. Похоже, можно было добиться того, чтобы меридианы выглядели почти как семейство эллипсов.

Макс аккуратно скопировал объект. Я пришёл к Суриау. Его сын (который никогда не имел терпения закончить степень по физике) развлекался с Apple II своего отца. Я сказал ему:

• Жером, ты хотел бы иметь публикацию по чистой математике под своим именем?

• В общем, почему бы и нет? Кого нужно убить для этого?

• Никого. Ты видишь этот объект. Возьми транспортир, измерь эти эллипсы и попробуй построить полуэмпирическое представление этой поверхности.

• Можно попробовать, дай...

Через два дня всё было готово. Статья быстро была принята в «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences» Парижа и опубликована под нашими именами: Ж.П. Пети и Ж. Суриау.

Но так как отец зовётся Жан-Мари, а сын Жером, все математики уверены, что это работа, которую мы сделали вместе, Суриау-отец и я.

Чертёж поверхности на компьютере с помощью небольшой программы на языке BASIC, состоящей из нескольких строк, сильно удивил многих математиков, которые ожидали чего-то более сложного. Это имело неприятные последствия. Математик Бернард Морин имел аспиранта по имени Апери, сын Апери-отца, автора несравненного теоремы, согласно которой сумма кубов целых чисел является иррациональным числом. Среди прочего...

Я этого не знал. Наше достижение сильно встревожило Морина, особенно потому, что я в то время наивно утверждал, что эта методика должна позволить описать четырёхушную поверхность, которая сделала его знаменитым, ту, которую построил Пуг с помощью проволочной сетки, а затем цифровизировал Макс и т.д.

Морин нахмурился:

• Нет, это невозможно!

Позже мы увидим это. Я остаюсь убеждённым в обратном. Но эта фраза была параллелью знаменитой реплике, которую произнёс Архимед римскому солдату, пришедшему помешать ему в размышлениях: «Noli tangere circulos meos!» («Не трогай мои круги!»).

На французском «не трогай мои круги!».

Здесь было скорее «не трогай мои эллипсы!».

Позже Апери использовал моё открытие, согласно которому поверхность Боя может быть оснащена системой эллиптических меридианов, чтобы создать первую неявную уравнение объекта:

f (x, y, z) = 0

Морин, разгневанный тем, что я появился как непрошеный гость в его собственных математических работах, заставил Апери уточнить в диссертации, что именно Созе придумал идею с эллипсами. Макс не опроверг этого, но это неверно. Доказательство в моем подвале: модель, которую я принёс Максу, чтобы он её оформил.

В конечном итоге, всё это довольно смешно. Эта история служит для того, чтобы показать, что математики не более умны, чем физики.

Политехник Колонна, пионер в области компьютерной графики, использовал наши уравнения без указания их источника. Но есть забавный деталь: если вы видите на экране изображения поверхности Боя. Если это «наше», то она обязательно будет иметь три небольших «складки» около своего полюса. Ошибка настройки уравнений. Жером, сын Суриау, сделал это спешно, и последний небольшой удар молотком около полюса был бы не лишним. Это всё ещё возможно, кстати, для тех, кто захочет.

Эта история о поверхности Боя не закончена. Для полноты упомянем персонажа: Карло Бономи, итальянского миллиардера. Я познакомился с ним во время экспедиции в Бермудский треугольник (но это совсем другая история). Мы тогда быстро плыли на его яхте, роскошной, которая могла оставить вас без слова, в поисках погружённой пирамиды, упомянутой в одном из книг Чарльза Берлитца. Мы не нашли пирамиду, и мы чуть не были съедены множеством акул, которые жили в этих местах. Если у вас есть атлас, то место...