Центральная модель переворота куба
31 декабря 2001 г.
Вы все видели, как неустанно вращается странный объект на левой стороне главной страницы сайта. О чем идет речь?
Однажды, когда у меня будет время, я установлю на сайте описание переворота сферы, как я это показал в выпуске января 1979 года журнала "Pour la science", то есть более чем 22 года назад. Все это, конечно, потребует много деталей и введения. Что значит перевернуть сферу? Для обычного человека сфера определяется как множество точек, находящихся на расстоянии R от фиксированной точки O в трехмерном пространстве. Геометр же продолжит называть "сферой" объект, который соответствовал бы "деформированной сфере", как бы "картофелине". Чтобы лучше понять все эти понятия, приобретите диск Lanturlu, на котором находится комикс "Le Topologicon". Однако математик идет еще дальше. Когда поверхность называется "регулярной", в каждом ее точке можно определить касательную плоскость. Это уже позволяет представить бесконечное количество деформаций "исходной сферы" в бесконечное количество "картофелей", при этом площадь поверхности может быть любой. Однако, в "физическом мире" человек, деформирующий сферу, столкнется с невозможностью сделать так, чтобы сфера пересекала сама себя. Если такие пересечения или даже касания запрещены, говорят тогда о
вложениях сферы S2
. Но математик имеет все права. Для него сфера - это "виртуальный" объект, где пересечения поверхностей становятся возможными. Ниже приведенные рисунки показывают сферу, которая "пересекла сама себя". Такую представление сферы называют
погружением
.
Погружение имеет
множество самопересечений
или
самопересечений
(здесь простая круговая кривая). Касательная плоскость должна непрерывно меняться. Тем не менее, если посмотреть на приведенные выше рисунки, можно увидеть, что операция поворачивает часть (представленную зеленым цветом) внутренней стороны сферы наружу. Чтобы завершить такой переворот, нужно "сплющить" этот экваториальный "булочку". На первый взгляд, это кажется проблематичным. Такое "сплющивание" нарушит непрерывность касательной плоскости. Таким образом, операция будет включать этап, который
не будет погружением
.
Однажды американский математик Стивен Смейл доказал, что "сфера S2 имеет только один класс погружений". Следствием этого загадочного утверждения было то, что можно было бы соединить последовательность погружений сферы, позволяющую перейти от "стандартной сферы" к ее "антиподальной" представлении, то есть, где все точки были заменены на их антиподы. Другими словами, перевернутая сфера, лицевая и оборотная. Рауль Ботт был наставником Смейла. Несмотря на то, что доказательство последнего было чисто формальным и казалось безупречным, никто не видел, как это можно было бы реализовать. Ботт постоянно говорил Смейлу: "Покажи мне, как ты бы это сделал", на что Смейл, с его известным волоском на языке, отвечал: "У меня нет ни малейшего понятия". Позже Смейл получил медаль Филдса, эквивалентную Нобелевской премии, но для математики. По пути, вы, возможно, зададитесь вопросом, почему Нобель никогда не хотел создать Нобелевскую премию по математике. Ответ прост: его жена ушла с математиком.
Дело оставалось без изменений на многие годы, пока американский математик Антони Филлипс не опубликовал в 1967 году в Scientific American первую версию этого переворота, чрезвычайно сложную. Вторая была придумана в начале 70-х годов французским математиком (слепым) Бернаром Морином. Я был первым, кто нарисовал эту последовательность преобразований, которая, как я уже говорил, станет предметом следующей статьи на сайте, довольно объемной. В любом случае, это приводит нас к дополнительному выводу. Поверхности могут быть представлены в виде
многогранных представлений. Куб или тетраэдр могут рассматриваться как многогранные представления сферы, поскольку эти объекты имеют ту же
топологию
. В этом отношении, обратитесь к моему комиксу "Le Topologicon". Кроме того, понятно, что если возможно перевернуть сферу, то возможно и перевернуть куб. Изобретенная Бернаром Морином (которую я проиллюстрировал в статье января 1979 года журнала "Pour la science") преобразование проходит через
центральный модель
. В этой последовательности есть симметрия. Это называется "моделью с четырьмя ушами". Опять я предвожу. Но так как сфера может быть представлена в виде многогранника, то же самое верно и для последовательных этапов этих преобразований. Объект, который вы видите вращающимся на моей главной странице, является многогранным представлением центральной модели переворота сферы, модель, которую я придумал около десяти лет назад. Преимущество этих многогранных моделей в том, что их можно построить с использованием плоских поверхностей. Их даже можно расположить по разрезам. Посмотрите на приведенный ниже рисунок (вместе с этим я благодарю своего друга Кристофа Тарди, который подготовил правильно обозначенные элементы).
Это рисунок, который выйдет на вашей принтере в маленьком формате, непригодном для использования.
Чтобы распечатать эту фигуру на листе A4
нужно сделать четыре копии на плотной бумаге A4, две листа одного цвета, две листа другого цвета
Это разрез, который вы видите в общем виде. Но для печати лучше перейти на страницу
разрез
. Распечатайте ее. Затем, имея экземпляр, распечатанный на обычной бумаге вашего принтера, идите в копировальный центр и сделайте четыре точных копии этого рисунка,
две на двух листах зеленого картона
и две на желтых. Вы сможете, используя этот разрез, построить центральную модель переворота куба.
На этих вырезанных элементах есть пары букв: a, b, c, d, e, f и т.д. Вам нужно выполнить сгибы, чтобы совместить одинаковые буквы, а затем собрать эти грани с помощью прозрачного скотча. Ниже приведенные рисунки показывают, как собирать один из четырех элементов. Вот как нужно начать сгибать один из четырех элементов:
Вот два из этих четырех элементов, видимых с разных углов.
Эти элементы затем собираются в объект, имеющий симметрию четвертого порядка или чередующийся зеленые и желтые элементы. Чтобы увидеть это в 3D, посмотрите на реализацию мистера Тарди в "виртуальной реальности". Полностью собранный центральный модель также производится в "vrml" в этом разделе. Вот этот объект, видимый с разных углов:
Нельзя сказать, что одна из видов соответствует "верху", а другая - "низу", поскольку эти названия были бы полностью произвольными. На левом изображении "центральный" пункт соответствует "двойной точке" (где две поверхности пересекаются) центральной модели Морина, а центральный пункт справа эквивалентен "четверной точке" той же модели (где четыре поверхности пересекаются). Я тщательно ориентировал объект, чтобы левая фигура не напоминала крест Гаммы. В противном случае, архитектурно говоря, это многогранное представление центральной модели Морина могло бы стать отличным проектом здания Национальной социалистической культуры.
Последний вид:
Последнее замечание: не существует хорошего многогранного представления переворота сферы (или переворота куба). Под "хорошим" подразумевается последовательность моделей достаточно ясных, которые можно собрать в виде разрезов относительно легко, как модель выше. Следует провести исследование в этом направлении, которое доступно любому, возможно, даже не математику, художнику, например. Более двадцати лет назад я был преподавателем скульптуры в Ecole des Beaux-Arts в Ау в Провансе, когда она еще управлялась моим отличным другом Жаком Булиером. Именно в этих помещениях родилась первая южная представление поверхности Боя с помощью эллипсов, ключ к построению первой неявной уравнения Апери. Я должен сказать, что в то время я всегда был удивлен геометрической фантазией студентов-художников, которая часто превосходила фантазию... геометров.
Счетчик установлен 31 декабря 2001 года. Количество соединений
:
