Переворот сферы
7 декабря 2004 года
страница 1
Введение.
Рассмотрим в дальнейшем замкнутые поверхности, такие как сфера, тор и некоторые другие. Это поверхности в том смысле, в каком их понимает обычный человек, то есть объекты, имеющие две измерения, которые изображаются в трёхмерном евклидовом пространстве R³, то есть в нашем пространстве восприятия. Эти поверхности могут быть представлены различными способами. Если они не пересекают сами себя, то говорят, что они
погружены
(в R³). Если же они пересекают себя, то говорят об
иммерсии
, а это пересечение проявляется в виде
множества самопересечений
(self-intersection).
В наших погружениях будем предполагать, что касательная плоскость изменяется непрерывно, и поверхность не имеет особенностей, подобных, например, вершине конуса. Наши поверхности будут
регулярными
.
В случае иммерсий потребуем, чтобы вдоль линий самопересечения две касательные плоскости к пересекающимся поверхностям были различны.
Мир геометрии, как его представляет себе математик, сильно отличается от физического мира. То, что поверхности могут пересекать сами себя, не вызывает у него никаких проблем. В физическом мире такое невозможно. Но в метафизическом мире это становится возможным. Так, в Библии сказано, что когда мёртвые воскреснут, они будут иметь "славные тела". Тогда они смогут проходить сквозь любые предметы и, в принципе, способны будут пересекать сами себя. Так, когда наступит время Суда Последнего, если вы будете бродить по Риму в виде славного тела, заблудитесь и будете искать площадь Навона, вы можете захотеть спросить дорогу у другого воскресшего человека, имеющего такой же облик, как у вас. Предположим, что человек, к которому вы обратились, движется в противоположном направлении от этой площади. В обычном физическом пространстве ему пришлось бы повернуться, чтобы указать пальцем в нужную сторону. Но если он движется в виде славного тела, поворот уже не нужен. Он может указать пальцем на свой пупок и пройти сквозь себя. Когда его рука появится сзади, ему останется только сказать вам: «вот туда». Проткнув руку сквозь живот, он создаст в своей телесной оболочке множество самопересечений, состоящее из двух окружностей, которое исчезнет, когда он вернётся в нормальную конфигурацию.
Если человек закроет рот, зажмёт ноздри зажимом для белья, и мы пренебрежём его другими естественными отверстиями, его телесная оболочка приобретёт топологию сферы S². Представим себе воскресшего существа в виде славного тела, у которого все естественные отверстия закрыты. Мы знаем, что оно может пересекать само себя, то есть его телесная оболочка может перейти из состояния погружения в состояние иммерсии. Один из метафизических вопросов, возникших в связи с этим, заключался в том, мог ли воскресший человек, имеющий славное тело, повернуться, не образуя складок.
Небольшое замечание на ходу. Фокусники знают, как использовать «волшебные кольца», которые могут проникать друг в друга «волшебным образом». Можно представить себе поверхности с помощью своего рода «волшебной сетки», при которой две поверхности, изображённые здесь чёрным и розовым цветами, могут свободно пересекаться.
Волшебная сетка
Во всяком случае, нужно признать, что между математикой и магией часто бывает мало различий. Двадцать лет назад я создал комикс под названием «Топологикон». Он сейчас распродан и недоступен, за исключением как предмет коллекционирования. На одной из страниц можно было увидеть следующее:
Очень жаль, что издательство Belin решило отказаться от этой серии. Надо сказать, что при стоимости производства чуть более одного евро продажа альбомов по цене 13 евро (плюс доставка), продаваемых по почте, при этом оставляя прибыль в 12 евро, то есть более 92% от цены продажи, не соответствует особенно разумной коммерческой стратегии, особенно для чёрно-белых изданий.
Рассмотрим сферу S², погружённую в R³. Предположим, что её внешняя поверхность серая, а внутренняя — старо-розового цвета. Мы можем нажать на два диаметрально противоположных пункта, которые условно назовём «северный полюс» и «южный полюс», до тех пор, пока они не соприкоснутся в одной точке. Это можно сделать, например, с бубликом. Когда речь идёт о математическом бублике (неизвестно, воскресают ли бублики в виде славных тел), после того как полярные области соприкоснулись в одной точке, они могут пересечь себя по кривой самопересечения, имеющей форму окружности. Заранее скажем, что такая поверхность пережила катастрофу типа Do.
Затем может возникнуть желание продолжить операцию и перевернуть бублик, сферу, продолжая процесс. Но тогда образуется складка, которая превратится в неприятную складку, точнее — поверхность разворота (рис. d).
В конце пятидесятых годов вопрос о возможности переворота метафизических бубликов без образования складок оставался нерешённым. По правде говоря, все считали это строго невозможным. Однако в 1957 году математик Стивен Смейл (которому была присуждена медаль Филдса, но за совершенно другую работу) доказал, что все иммерсии сферы S² в R³ образуют единое множество, и всегда можно найти последовательность непрерывных деформаций иммерсий (так называемую регулярную гомотопию), позволяющую перейти от одного состояния к другому. Следствием этого было то, что можно было перейти с помощью непрерывной последовательности иммерсий от стандартного погружения сферы S² к антиподному погружению. Проще говоря: сферу можно было перевернуть без образования складок, при условии, что она может перевернуться сама.
У Смейла был наставник по имени Рауль Ботт. Тот спросил у своего ученика, как именно следует поступить, и Смейл ответил, что у него нет ни малейшего понятия, но что его теорема абсолютно неприкосновенна. Смейл не видел в пространстве вообще, но ему это было безразлично (как это часто бывает у геометров). И, если быть совершенно откровенным, после доказательства своей теоремы он совершенно не интересовался, как можно воплотить это на практике, и тотчас переключился на другую тему, оставив своих коллег-математиков в полном замешательстве. Мне кажется, что это не очень приятно — создавать такие задачи и затем бросать людей разбираться с ними десять лет спустя.
Надо признать, что трудно представить иммерсии в уме. И всё же мы знаем, что существуют поверхности, которые можно изобразить в R³ только таким способом. Например, бутылка Клейна.
Бутылка Клейна
Здесь она представлена с помощью системы сетки — системы координат, состоящей из двух наборов замкнутых кривых, как и у тора. Таким образом, бутылку Клейна можно разбить на сетку, не создавая особенностей...