a102
| 2 |
|---|
Геодезические.
...В дальнейшем мы говорим о поверхностях в 2 измерениях. Кстати, почему поверхность является объектом в 2 измерениях? Потому что для локализации точки на ней нужно два параметра. Пример: долгота и широта на Земле.
...Это вещи, которые вы лучше поймете с помощью рук, чем с помощью головы. Попробуйте найти несколько предметов, прежде чем начинать читать этот текст. Вам понадобятся:
- Бумага, как жесткая, так и гибкая.
- Цветная клейкая лента.
- Ножницы
...Сейчас, с помощью этой цветной клейкой ленты, вы можете создать ленты постоянной ширины.
(6)
...Возьмите любую поверхность, например, кузов вашего автомобиля. Вы можете приклеить к ней ленту, аккуратно избегая складок. Тогда вы получите геодезические этой поверхности. Их бесконечно много на кузове вашего автомобиля.
Вы можете сделать это на плоской пластине. Тогда вы получите «прямые линии вашего плоскости».
«Прямые линии» — это просто особые геодезические, те, что на плоскости.
(7)
С тремя геодезическими вы получаете треугольник на этой «евклидовой поверхности». Тогда сумма трех углов равна 180°.
Позиконы.
...Теперь давайте построим «позикон», вид «положительного конуса». Просто возьмите кусок бумаги, плоскую поверхность, и вырежьте сектор с помощью ножниц. Затем соедините линии SA и SB, как показано на следующем рисунке.
(8)
...Теперь, с помощью нашей клейкой ленты, мы рисуем три геодезические линии на этой поверхности, как показано на рисунке (9). Мы можем измерить сумму трех углов и мы находим два случая:
Если треугольник не содержит вершины S этого позикона, сумма остается 180°.
Если треугольник содержит вершину, независимо от того, как он расположен вокруг нее, маленький или большой, сумма равна: 180° + q .
(9)
Чтобы лучше понять, вы можете вырезать свой позикон и разложить его. Тогда ваш угол q будет явно виден.
(10)
...Вы можете легко проверить, что две прямые AH и мы можем легко проверить, что прямые SH и SH' образуют угол, равный q .
...Конус — это поверхность, которую можно разложить, после того как вы сделаете разрез вдоль линии, проходящей через вершину. На французском языке говорят, что это «развертываемая» поверхность, но я не могу найти английское слово в своем словаре. То же самое касается цилиндра.
(11)
...Вы можете нарисовать геодезические линии на цилиндре, с помощью вашей клейкой ленты. Но, после того как вы сделаете разрез и разложите цилиндр, ваши геодезические линии становятся... прямыми линиями.
Вы также можете свернуть такие поверхности (конус, цилиндр) на плоскости. Следующий рисунок.
(12)
...Вы можете нарисовать геодезическую линию на конусе или на цилиндре чернилами, а затем свернуть его на плоскости, используя его как матрицу для печати. Тогда на вашей плоскости вы получите прямые линии.
...Напротив, если вы нарисуете прямые линии на вашей плоскости и свернете конус или цилиндр на ней, пока чернила не высохнут, вы напечатаете геодезические линии на них.
Оригинальная версия (английский)
a102
| 2 |
|---|
Geodesics.
...In the following we deal with 2d-surfaces. By the way, why is a surface a 2d object ? Because you need two parameters to localize a point on it. Example : longitude and latitude on the Earth.
...They are things that you will better understand with yours hands than with your head. Try to find some things before starting to read this text. You need :
- Paper, both firm and flexible.
- Coloured sticky tape.
- Scissors
...Hereafter with this kind of coloured sticky tape you can make constant width strips.
(6)
...Take any surface, for example the coachwork of your car. You can glue your sticky tape strip onto it, carefully avoiding creases. Then you get geodesics of this surface. They are an infinity of it on the coachwork of your car.
You can do it on a flat plate. The you get "straight lines of your plane".
"Straight lines" are just peculiar geodesics, those on the plane.
(7)
With three geodesics you make a triangle on this "euclidean surface". Then the sum of the three angles is 180°.
Posicones.
...Now, let us build a "posicone", some sort of a "positive cone". Just take a piece of paper, a flat surface, and cut a sector with your scissors. Then put the lines SA and SB together, as indicated on next figure.
(8)
...Now, with our sticky tape, we draw three geodesic lines on that surface, as shown on figure (9). We can measure the sum of the three angles and we find two cases :
If the triangle does not contain the summit S of this posicone, the sum is still 180°.
If it contains the summit, whatever it is arranged around it, small or large, the sum is : 180° + q .
(9)
To understand, you can cut your posicone and put it flat. Then your q angle appears clearly.
(10)
...You can easily check that the two straight lines AH and we can therefore verify easily the straight lines SH and SH' form and angle equal to q .
... A cone is a surface that can be put flat, after you cut along a line containing the summit. In french we say that it is a "développable" surface, but I don't find the english word in my dictionary. Same thing for a cylinder.
(11)
...You can draw geodesic lines on a cylinder, with your sticky tape strip. But, after you manage your cut, and put your cylinder flat, your geodesic lines become... straight lines.
You can also roll such surfaces ( cone, cylinder ) on a plane. Next figure.
(12)
...You can draw a geodesic on a cone or on a cylinder with ink, and then roll it on a plane, using it as a printing matrix. Then, on your plan, you will print straight lines.
...Conversely, if you draw straight lines on your plan and roll the cone or the cylinder on it, before the ink gets dry, you will print geodesics on it.