a103
| 3 |
|---|
(положительная) Кривизна.****
Когда мы рисуем треугольник с помощью нашего скотча на плоскости, сумма значений углов равна 180°. Это евклидовая поверхность. Мы скажем, что она не содержит кривизны. Это действительно плоская поверхность. Сумма углов нашего треугольника является евклидовой суммой. Когда мы нарисовали треугольник на нашем конусе, нашем «посиконе», и вершина S находилась снаружи, сумма была все еще 180°. Напротив, когда вершина находилась внутри, сумма была 180° плюс угол q (угол выреза, который мы смогли сделать, чтобы построить наш посикон, см. рисунок (8)).
Эта вершина является особой точкой поверхности, точкой конической, и мы скажем, что она содержит определенную (положительную) сконцентрированную кривизну. Это точка сконцентрированной (положительной) кривизны.
Теперь мы можем сделать два выреза, соответствующих углам q1 и q2. См. рисунок (13). Тогда мы получим странную поверхность, имеющую две конические точки S1 и S2. См. рисунок (14).
(13)
(14)
Теперь вы можете нарисовать столько геодезических треугольников, сколько хотите, соответствующих различным случаям.
-
Если они не содержат конической вершины, сумма углов равна 180°.
-
Если они содержат вершину S1, сумма равна 180° плюс q1.
-
Если они содержат обе вершины, q1 и q2, сумма равна 180° + q1 + q2
(15)
Представьте теперь, что вы можете изготовить большое количество маленьких посиконов и приклеить их вместе, как показано на рисунке (16). Каждый маленький посикон соответствует элементарному углу Dq. Вы можете расположить эти маленькие конусы регулярным образом. Я имею в виду: расстояние между вершиной и вершинами соседних маленьких конусов будет почти постоянным везде.
(16)
Если ваши маленькие конусы становятся все меньше и меньше, а также их связанный элементарный угол Dq, вы построите участок регулярной поверхности с постоянной плотностью кривизны.
Сфера — это поверхность с постоянной локальной плотностью кривизны. Иначе говоря, говорят, что сфера — это поверхность постоянной кривизны.
Если вы расположите свои маленькие конусы по-другому, вы можете построить поверхность с переменной локальной плотностью кривизны. Например, яйцо. Яйцо курицы — это поверхность с переменной локальной плотностью кривизны. Но настольный теннисный шарик — это поверхность с постоянной плотностью кривизны. Именно так курица узнает свое яйцо и отличает его от настольного теннисного шарика. Она рисует геодезические с помощью скотча и т.д...
На самом деле курица не физически рисует геодезические на объекте. Она делает это мысленно.
(17)
В общей теории относительности плотность массы r отождествляется с локальной кривизной.
Конечно, поле общей теории относительности не является двумерной поверхностью. Вы можете представить трехмерную гиперповерхность. Вы можете представить трехмерную гиперсферу. Но кто может представить четырехмерную гиперповерхность?
Кроме того, четырехмерная кривизна четырехмерной гиперповерхности, называемой «Вселенной», имеет особые свойства, которые мы здесь не будем исследовать. Это показывает, что дидактические модели имеют свои ограничения. Но они хороши для стимулирования воображения и расширения ума в сторону немного других миров.
Оригинальная версия (английский)
a103
| 3 |
|---|
(positive) Curvature.****
When we draw a triangle, using our sticky tape, on a plane, the sum of the angles' value is 180°. This is an euclidean surface. We will say that it contains no curvature. It is really a flat surface. The sum of the angles of our triangle is the euclidean sum. When we drew the triangle on our cone, our "posicone", and when the summit S was outside it, the sum was still 180°. Oppositely, when the summit was inside, the sum was 180° plus the angle q (the cut we managed to build our posicone, see figure (8)).
This summit is a peculiar point of the surface, a *conical *one and we will say that it contains some (positive) concentrated curvature. Its a concentrated (positive) curvature point.
Now we can manage two cuts, corresponding to angles q1 and q2 . See figure (13). Then we get some strange surface with two conical points S1 and S2. See figure (14).
(13)
(14)
Now you can draw as many geodesic triangles you want, correspnding to different cases.
-
If they contain no conical summit, the sum of the angles is 180°.
-
If they contain the summit S1 , the sum is 180° plus q1.
-
If they contain the two summits, q1 and q2, the sum is 180° + q1+ q2
(15)
Imagine now that you can make a large number of tiny posicones and glue them together, as shown on figure (16). Each tiny posicone corresponds to an elementary angle Dq . You can arrange these mini-cones in a regular way. I mean : the distance between a summit and summits of the neighbours' mini cone would be almost constant everywhere.
(16)
If your mini-cone get smaller and smaller, as well as their associated elementary angle Dq , you will build a portion of regular surface with constant curvature density.
A sphere is a surface with constant local curvature density. In a simpler way, on says that the sphere is a constant curvature surface.
If you arrange your mini-cones differently, you can build a variable local curvature density surface . For an example an egg. The egg of a hen is a variable local curvature density surface. But a ping-pong ball is a constant curvature density surface. That's so that the hen recognizes its egg and makes the difference with the ping-pong ball. It draws geodesics with sticky tape, and so on...
In fact, the hen does not physically figure geodesics on the object. It does it mentally .
(17)
In general relativity one identifies mess density r to local curvature.
Of course the general relativity playground is not a 2d surface. You can imagine a 3d hypersurface. You can imagine a 3d hypersphere. But who can imagine a 4d hypersurface ?
By the way, the 4d curvature of the 4d hypersurface called "universe" has special features we are not going to explore here. This shows that didactical models are limited. But they are good to stimulate the imagination and to open the mind towards somewhat different worlds.