a104
| 4 |
|---|
**Дидактическое изображение небесного тела **(звезда, планета, плотное яйцо)
** **Звезда, как Солнце, является концентрацией массы. Вокруг: пустота, или часть пространства, которая «почти пуста», потому что она содержит очень разреженный газ и фотоны. В 2D соответствующее дидактическое изображение — это тупой (posi) конус:
(18)
Вы можете сделать его с помощью двух компонентов. Частицы сферы и частицы (posi) конуса, склеенные вместе. Часть сферы — это поверхность с постоянной кривизной. Часть конуса — это плоская поверхность, поверхность с нулевой локальной кривизной. Последний пример — это евклидова поверхность. Часть сферы — это неевклидова поверхность (риманова поверхность).
Это 2D дидактическое изображение объекта с постоянной плотностью, окружённого пустотой.
Как соединить два элемента, чтобы обеспечить непрерывность касательной плоскости? Это просто. Ваша часть конуса происходит из конуса, у которого сечение соответствовало углу q. Ваша часть сферы должна быть построена из элементарных мини-конусов (posi), чтобы она содержала определённое «количество угловой кривизны» q. Если эти два угла равны, касательная плоскость будет непрерывной.
Но как измерить количество кривизны, содержащееся в данной части сферы?
Общая кривизна.
Мы можем построить поверхность, соединив элементарные posicones. Мы можем организовать это, чтобы получить поверхность с постоянной плотностью кривизны. Тогда мы знаем, что поверхность — это часть сферы. Если мы добавим всё больше и больше элементарных (posi) конусов, сфера станет полной. Она содержит определённое количество угловой кривизны. Все сферы содержат одно и то же количество. Общая угловая кривизна настольного теннисного мяча и общая угловая кривизна Земли одинаковы, хотя они имеют очень разный вес.
Кстати, общая кривизна яйца такая же, потому что у них одинаковая топология. В принципе, куры несут яйца с сферической топологией. Лично я никогда не видел яйца с торической топологией. Это соответствовало бы странным змеям без головы и хвоста, или чему-то подобному.
Вернёмся к настольным теннисным мячам, обычным сферам. Если эта поверхность имеет постоянную локальную угловую плотность, это означает, что количество угловой кривизны (сумма элементарных углов Dq) будет пропорционально площади. См. рис. 19. Эта площадь может быть ограничена любым видом границы. Но мы можем использовать геодезические сферы. Обозначим S площадь сферы, а s серую область внутри треугольника.
(19)
Выше мы видели, что (положительное) отклонение от евклидовой суммы (180°), для треугольника, нарисованного на поверхности, зависит от количества вершин конуса, находящихся внутри. Сумма была 180° плюс все углы, соответствующие этим заключённым вершинам.
Напротив, если я измерю отклонение от евклидовой суммы, я могу измерить количество кривизны, содержащееся внутри треугольника.
Геодезическая сферы называется большим кругом сферы. См. рис. (20). Меридианы, экватор — это большие круги сферы.
(20)
Мы можем разрезать нашу сферу на восемь частей одинаковой площади. См. рис. (21). Мы получаем восемь треугольников, у которых все углы равны 90°. Тогда отклонение от евклидовой суммы составляет 90°. Каждый из этих треугольников содержит угловую кривизну, равную 90°. В итоге общая кривизна, общая угловая кривизна сферы составляет 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Каждый серый треугольник содержит π/2.
Нравятся ли вам кривые поверхности, геометрия римановых поверхностей?
Если мы вернёмся к нашему тупому конусу, мы увидим, что угловая кривизна содержится внутри круговой границы, в области постоянной плотности кривизны. Боковая поверхность, стенка конуса, не является ограниченной поверхностью. Вы можете расширить её до бесконечности, если хотите. Количество угловой кривизны не зависит от периметра границы, или площади части сферы. Эта последняя может быть уменьшена. См. рис. (22). Даже уменьшенная до простой точки, она будет содержать такое же количество угловой кривизны. Поэтому мы говорим, что коническая точка — это точка с концентрированной кривизной. Напротив, мы можем построить гладкие поверхности из набора конических точек.
Материя состоит из атомов. Атомы можно рассматривать как точечные объекты. Они являются «точками с концентрированной кривизной» в 3D-пространстве.
Воздух, которым вы дышите, — это среда с постоянной плотностью. Он состоит из молекул, атомов. Это набор точек с концентрированной кривизной, соединённых евклидовыми частями пространства. Вы считаете это средой с постоянной кривизной.
В следующий раз, когда вы вдохнёте, подумайте об этом.
(22)
Оригинальная версия (английский)
a104
| 4 |
|---|
**Дидактическое изображение небесного тела **(звезда, планета, плотное яйцо)
** **Звезда, как Солнце, является концентрацией массы. Вокруг: пустота, или часть пространства, которая «почти пуста», потому что она содержит очень разреженный газ и фотоны. В 2D соответствующее дидактическое изображение — это тупой (posi) конус:
(18)
Вы можете сделать его с помощью двух компонентов. Частицы сферы и частицы (posi) конуса, склеенные вместе. Часть сферы — это поверхность с постоянной кривизной. Часть конуса — это плоская поверхность, поверхность с нулевой локальной кривизной. Последний пример — это евклидова поверхность. Часть сферы — это неевклидова поверхность (риманова поверхность).
Это 2D дидактическое изображение объекта с постоянной плотностью, окружённого пустотой.
Как соединить два элемента, чтобы обеспечить непрерывность касательной плоскости? Это просто. Ваша часть конуса происходит из конуса, у которого сечение соответствовало углу q. Ваша часть сферы должна быть построена из элементарных мини-конусов (posi), чтобы она содержала определённое «количество угловой кривизны» q. Если эти два угла равны, касательная плоскость будет непрерывной.
Но как измерить количество кривизны, содержащееся в данной части сферы?
Общая кривизна.
Мы можем построить поверхность, соединив элементарные posicones. Мы можем организовать это, чтобы получить поверхность с постоянной плотностью кривизны. Тогда мы знаем, что поверхность — это часть сферы. Если мы добавим всё больше и больше элементарных (posi) конусов, сфера станет полной. Она содержит определённое количество угловой кривизны. Все сферы содержат одно и то же количество. Общая угловая кривизна настольного теннисного мяча и общая угловая кривизна Земли одинаковы, хотя они имеют очень разный вес.
Кстати, общая кривизна яйца такая же, потому что у них одинаковая топология. В принципе, куры несут яйца с сферической топологией. Лично я никогда не видел яйца с торической топологией. Это соответствовало бы странным змеям без головы и хвоста, или чему-то подобному.
Вернёмся к настольным теннисным мячам, обычным сферам. Если эта поверхность имеет постоянную локальную угловую плотность, это означает, что количество угловой кривизны (сумма элементарных углов Dq) будет пропорционально площади. См. рис. 19. Эта площадь может быть ограничена любым видом границы. Но мы можем использовать геодезические сферы. Обозначим S площадь сферы, а s серую область внутри треугольника.
(19)
Выше мы видели, что (положительное) отклонение от евклидовой суммы (180°), для треугольника, нарисованного на поверхности, зависит от количества вершин конуса, находящихся внутри. Сумма была 180° плюс все углы, соответствующие этим заключённым вершинам.
Напротив, если я измерю отклонение от евклидовой суммы, я могу измерить количество кривизны, содержащееся внутри треугольника.
Геодезическая сферы называется большим кругом сферы. См. рис. (20). Меридианы, экватор — это большие круги сферы.
(20)
Мы можем разрезать нашу сферу на восемь частей одинаковой площади. См. рис. (21). Мы получаем восемь треугольников, у которых все углы равны 90°. Тогда отклонение от евклидовой суммы составляет 90°. Каждый из этих треугольников содержит угловую кривизну, равную 90°. В итоге общая кривизна, общая угловая кривизна сферы составляет 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Каждый серый треугольник содержит π/2.
Нравятся ли вам кривые поверхности, геометрия римановых поверхностей?
Если мы вернёмся к нашему тупому конусу, мы увидим, что угловая кривизна содержится внутри круговой границы, в области постоянной плотности кривизны. Боковая поверхность, стенка конуса, не является ограниченной поверхностью. Вы можете расширить её до бесконечности, если хотите. Количество угловой кривизны не зависит от периметра границы, или площади части сферы. Эта последняя может быть уменьшена. См. рис. (22). Даже уменьшенная до простой точки, она будет содержать такое же количество угловой кривизны. Поэтому мы говорим, что коническая точка — это точка с концентрированной кривизной. Напротив, мы можем построить гладкие поверхности из набора конических точек.
Материя состоит из атомов. Атомы можно рассматривать как точечные объекты. Они являются «точками с концентрированной кривизной» в 3D-пространстве.
Воздух, которым вы дышите, — это среда с постоянной плотностью. Он состоит из молекул, атомов. Это набор точек с концентрированной кривизной, соединённых евклидовыми частями пространства. Вы считаете это средой с постоянной кривизной.
В следующий раз, когда вы вдохнёте, подумайте об этом.
(22)