a106
| 6 |
|---|
Негаконусы.
Теперь давайте построим то, что мы назовем «негаконусом». Чтобы построить позаконус, мы удалили сектор из плоскости. Здесь мы добавляем один, соответствующий углу q:
(30)
На этой поверхности мы можем провести геодезические линии с помощью нашего скотча и составить треугольник из трех из них. Если вы измерите сумму углов, вы увидите, что она равна 180° - q. Мы скажем, что она определяет концентрацию отрицательной кривизны.
В вашем доме есть объекты с отрицательной кривизной. Некоторые стулья, например: (30 bis)
Если мы возьмем диск, мы получим рисунок (31):
(31)
Конечно, если треугольник, составленный из трех геодезических, не содержит вершины S, которая содержит всю (отрицательную) угловую кривизну, сумма будет равна евклидовой сумме: 180°.
Седло для лошади.
** **Вы можете построить большое количество элементарных негаконусов
с углом - Dq и соединить их. Вы можете сделать это, чтобы получить почти постоянное расстояние между двумя соседними вершинами. Тогда вы получите поверхность с постоянной плотностью отрицательной кривизны: седло для лошади. Но эта поверхность никогда не закроется.
В общем, геометр называет ее поверхностью с постоянной отрицательной кривизной. (32)
«Тупой негаконус».
В предыдущем разделе, используя поверхность с постоянной положительной плотностью кривизны (часть сферы) и часть позаконуса, мы построили тупой позаконус.
Аналогично, мы можем построить то, что мы назовем тупым негаконусом. Нужно соединить седло для лошади с частью негаконуса вдоль их общей круговой кромки. Чтобы обеспечить непрерывность касательной плоскости, кривизна (отрицательная), содержащаяся в седле для лошади, должна быть равна отрицательной кривизне, используемой при построении негаконуса.
Создать требуемую часть негаконуса относительно просто! (33)
Примечание: Как и позаконус, негаконус может использоваться в качестве матрицы для печати. Но трудно представить, как свернуть негаконус на плоской поверхности. Поэтому проще свернуть плоскость на матрице с отрицательной кривизной.
Гутенберг изобрел технику печати. Рельефный рисунок вырезается на плоскости. Затем на него наносится чернила и прессуется на плоскость.
Позже матрица для печати была преобразована в цилиндр для печати газет (ротационная печать).
Но, насколько мне известно, никто не использовал коническую печать.
В любом случае, важным является то, чтобы привести две поверхности в контакт, независимо от метода. Либо вы перемещаете матрицу, либо вы сверлите бумагу (плоскую поверхность).
Как показано на рисунке (34), вы можете использовать коническую матрицу для печати чего-либо на плоскости. Некоторые конические газеты, разложенные. (34)
Невозможно точно утверждать, что никто никогда не будет использовать это. Допустим, вы хотите производить платья с особенным дизайном, соответствующим конической симметрии. Допустим, вам нужно произвести тысячи таких платьев. Вы можете выгравировать рисунок на конической матрице, а затем использовать ее для печати на ткани. Клиент может купить его и изготовить «коническое» платье, зная, что полученный узор будет правильным везде.
На рисунке (35) показано, что вы получаете, печатая с матрицей с отрицательной кривизной. Справа — негаконус, разложенный. (35)
На рисунке (36) показано, как соединить седло для лошади с частью негаконуса.
Во время этого, вы можете спросить:
- Как я могу измерить отрицательную угловую кривизну, содержащуюся в моем седле для лошади?
В некоторых местах в Техасе, рядом с отделами математики, когда вы покупаете седло для лошади, соответствующая угловая кривизна указана на приложенном чеке. Если нет, сравнивая периметр края или площадь с евклидовой величиной, рассчитанной по радиусу этого диска с отрицательной кривизной, вы можете вывести соответствующую угловую кривизну. Рассмотрите это как плодотворное упражнение. (36)
(37)
Теперь мы можем использовать наш скотч, нарисовать геодезические и спроецировать их на плоскость, как показано на рисунке (38).
(38)
Как обычно, это плоское проектирование относится к нашему «ментальному миру», к стене пещеры Платона. Внешний вид спроецированной геодезической будет означать для нас, что на наши объекты отсчета действует какая-то отталкивающая сила, например, отталкивающая гравитационная сила. На самом деле, все это должно исходить из лежащей в основе геометрии.
Оригинальная версия (английский)
a106
| 6 |
|---|
**Negacones.
**
Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.