a107
| 7 |
|---|
Сопряжённые геометрии.****
Теперь мы можем соотнести тупой позикон и тупой негакон. Напротив друг друга: часть сферы и седло лошади, с противоположной угловой кривизной + q и - q. У нас есть соответствие точка в точку (инъективное отображение). На рисунке (39) представлены пары сопряжённых точек.
Мы называем сопряжёнными геометриями две геометрические структуры, связанные точка в точку, такие, что локальные плотности кривизны противоположны. Это случай части сферы и соответствующего седла лошади. То же самое верно и для части позикона, напротив части негакона. Их локальные плотности угловой кривизны равны нулю. (39)
Положительная кривизна в складке F полностью содержится в части сферы. Часть позикона — это евклидова поверхность, которая является «локально плоской». В другой складке F*, сопряжённой складке, вся (отрицательная) угловая кривизна содержится в седле лошади. Снаружи часть негакона является «локально плоской», она не содержит кривизны.
Обратите внимание, что, задав складку, можно построить другую.
Общая теория относительности.
Основная идея заключается в том, что локальное содержание «материи-энергии» определяет локальную геометрию, она формирует гиперповерхность пространства-времени. Обратите внимание на составное слово «материя-энергия», которое показывает, что любое содержание определяет геометрию Вселенной: материя и излучение. В предыдущем разделе мы упоминали, что фотоны вносят вклад в (положительную) кривизну. Сегодня вклад космического фона пренебрежим. Вклад материи в геометрию доминирует. Но, в далёком прошлом, ситуация была обратной: в Стандартной модели, когда t < 500 000 лет.
Рассмотрим некоторую дидактическую модель, чтобы понять основные понятия общей теории относительности. Займёмся системами со стационарным состоянием. Рассмотрим плоскую поверхность без внутренних напряжений. Мы можем изменить её геометрию, введя локальные напряжения. Мы можем ввести положительное или отрицательное натяжение (тензор напряжений). Например, если я нагрею пластиковую пленку, я создам вздутие (эффект положительной кривизны).
Я также могу пропитать материал веществом, которое при высыхании вызовет локальное растяжение (эффект отрицательной кривизны).
Кузнец знает, как использовать нагрев и охлаждение для формирования металлической поверхности, например, коробки, повреждённой в аварии.
Возьмём простую металлическую трубку. Нагрейте один конец и охладите другой. Что произойдёт?
(40)
Напряжения согнут трубку, как показано на рисунке (41).
(41)
Мы ввели напряжения в металл. Это и есть происхождение слова тензор в математике, сопротивлении материалов и геометрии. Специалист по сопротивлению материалов будет говорить о тензоре напряжений. Геометр призовёт тензор кривизны. Специалист по общей теории относительности применим основной принцип:
локальное содержание материи-энергии <-------> локальная геометрия
Конечно, это локальное содержание материи-энергии определяет локальную геометрию 4-мерной гиперповерхности. Но идея аналогична.
Как это записать? Используя то, что математики называют тензорами.
Без разработки полного курса дифференциальной геометрии трудно идти дальше. Известное уравнение Эйнштейна: (42)
**S **= c T
c — простая константа (называемая константой Эйнштейна). Она зависит от значений двух других констант:
-
Скорость света c.
-
Константа гравитации G.
через:
(42bis)
S — геометрический тензор, отвечающий за геометрические характеристики.
T — другой тензор, описывающий локальное содержание Вселенной. В этом тензоре вы найдёте плотность материи r и давление p. Они выражаются как плотности энергии. r c² — плотность энергии
Но p также является плотностью энергии. Обычно давление выражается в паскалях на квадратный метр. Но паскаль на квадратный метр также является джоулем на кубический метр. Давление — это в основном объёмная плотность энергии. Поля
r (x,y,z) и p (x,y,z)
для системы со стационарным состоянием, образуют входную часть задачи. Из этих скалярных полей мы можем построить тензор T. Затем вопрос становится:
- Какая геометрия соответствует такому тензорному полю T (x,y,z), удовлетворяющему уравнению (42)?
Учитывая локальное содержание Вселенной, теоретик должен построить локальную геометрию гиперповерхности пространства-времени. Но зачем?
Здесь используется вторая основная гипотеза:
- Все объекты, составляющие нашу Вселенную, следуют геодезическим гиперповерхности пространства-времени.
Объект может быть звездой, планетой, атомом, фотоном, элементарной частицей.
Приходят ли частицы из уравнения поля? Вовсе нет. Общая теория относительности полностью их игнорирует. Для специалиста по общей теории относительности Вселенная — это сплошная среда, ничего больше. Входные функции r и p соответствуют макроскопическому описанию Вселенной. То же самое для выхода: система геодезических. Для теоретика общей теории относительности Вселенная — это гиперповерхность, ничего больше. Он говорит:
- Вы дали мне функции r (x,y,z) и p (x,y,z). Я построил для вас подходящую гиперповерхность, которая подчиняется уравнению поля. Я определил все возможные пути: систему геодезических. Но я полностью не могу построить для вас частицы. Сожалею. Обратитесь в другой отдел.
В заключение: мост между общей теорией относительности и миром элементарных частиц всё ещё ждёт своего строителя.
Но астроном скажет:
- Кто это волнует? Фотоны должны следовать особенным геодезическим этой гиперповерхности. Это работает: я могу наблюдать явления с помощью оптических приборов. Планеты также должны следовать другому типу геодезических. Это тоже работает. Я могу вычислять их траектории, предсказывать прецессию перигелия Меркурия. Также есть гравитационное линзирование.
Он прав.
Несколько слов об этом гравитационном эффекте. Во-первых, это изображение тупого конуса — просто дидактическое изображение. Например, оно не может описать круговые траектории планеты вокруг звезды: (43)
Это просто показывает ограничения дидактических изображений. Но мы можем использовать этот пример, чтобы проиллюстрировать гравитационное линзирование, с двумя геодезическими:
(44)
Ниже представление пространства в уме в евклидовом виде. Есть эффект миража. Вместо одного объекта наблюдатель видит два «гравитационных миража».
Оригинальная версия (английский)
a107
| 7 |
|---|
Conjugated geometries.****
We can now associate a blunt posicone and a blunt negacone. Facing each other : a portion of a sphere and a horse saddle, with opposite angular curvature + q an - q. We have a point to point correspondence (injective mapping) . On figure (39) a couple of conjugated points have been figured.
We call *conjugated geometries *two geometric structures, with a point to point link, such as the local curvature densities are opposite. This is the case for the portion of the sphere and the corresponding horse saddle. The same applies for the portion of posicone, facing a portion of negacone. Their local angular curvature densities are zero. (39)
The positive curvature, in the fold F, is entirely contained in the portion of the sphere. The portion of posicone is an euclidean surface, which is "locally flat". In the other fold F*, the conjugated fold, all the (negative) angular curvature is contained in the horse saddle. Outside, the portion of negacone is "locally flat", it contains no curvature.
Notice that given a fold you can build the other one.
General Relativity.
The basic idea is that the local content of "matter-energy" determines the local geometry, it shapes the space-time hypersurface. Notice that the composite word "matter-energy", which shows that any content determines the geometry of the universe : matter* and *radiation. In a precedent section we evoked the fact that photons contribute to (positive) curvature. Today the contribution of the cosmic background is negligible. Matter's contribution to geometry is dominant. But, in the distant past, the situation was reversed : in the Standard Model, when t < 500,000years.
Let us search some didactic model in order to figure the basic concepts of general relativity. Let us deal with steady-state systems. Consider a plane surface, without any internal stress. We can modify its geometry if we introduce local stress. We can introduce positive or negative tension (stress tensor). For example if I heat a plastic film, I will create a blister (positive curvature effect)
I can also impregnate the material with a product which, when dry, will cause local strectching (negative curvature effect).
A boiler-maker knows how to display warming and cooling to shape a metal surface, for an example, a can which has been in an accident.
Take a simple metallic tube. Let us warm it on one side and cool it on the opposite side. What will happen ?
(40)
The stress will bend the tube, as shown on figure (41).
(41)
We have introduced tensions in the metal. This is the origin of the word tensor in mathematics, resistance of material and geometry. The specialist in resistance of material will talk in terms of *stress tensor . The geometer will invoke the curvature tensor *. The specialist of general relativity will apply the basic principle :
local energy-matter content <-------> local geometry
Of course, this local energy-matter content determines the local geometry of a 4d-hypersurface. But the idea is similar.
How to write that ? Using what mathematicians call *tensors *.
It is difficult to go further in that direction, without developping a complete course of *differential geometry *. The famous Einstein equation is : (42)
**S **= c T
c is a simple constant ( called the Einstein's constant ). It depends ont the values of two other constants :
-
The light velocity c.
-
The constant of gravitation G.
through :
(42bis)
**S **is a geometrical tensor and takes in charge the geometrical features.
T is another tensor, that describes the local content of the universe. In this tensor you will find the matter density r and the pressure p . They are expressed as energy densities. r c2
is an energy density
But p is also an energy density. Usually one express a pressur as pascal per square meter. But a pascal per square meter is also a joule per cubic meter. A pressure is basically a volumic energy density. The fields
r (x,y,z) and p (x,y,z)
for a steady-state system, form the entry of the problem. From these scalar fields we can build the tensor T. Then the question becomes :
- What is the geometry that goes with such tensor field T (x,y,z), which satisfies the equation (42) ?
Given the local content of the Universe, the theoretician must build the local geometry of the space-time hypersurface. But, what for ?
Here one uses the second basic hypothesis :
- All the objects that compose our universe follow space-time hypersurface geodesics.
An object can be a star, a planet, an atom, a photon, an elementary particle.
Do the particles come from the field equation ? Not at all. General relativity ignores them completely. For the specialist of general relativity, the universe is a continuum, nothing else. The input functions r and p correspond to a macroscopic description of the universe. Same for the ouput : the geodesic system. For the theoretician of general relativity, the Universe is a hypersurface, nothing else. He says :
- You gave me functions r (x,y,z) and p (x,y,z). I have built for you the adequate hypersurface, which obeys the field equation. I have determined all the possible paths : the geodesic system. But I am completely unable to build particles for you. Sorry. See another department.
To sum up : the bridge between the general relativity and elementary particle world is still waiting his builder.
But the astronomer will say :
- Who cares ? Photons are supposed to follow peculiar geodesics of this hypersurface. It works : I can observe things with optical devices. Planets are also supposed to follow another kind of geodesics. It works too. I can compute their paths, predict the precession of Mercury's perihelion. There is also the gravitational lens effect.
He is right.
Few words about this gravitational effect. First of all, this image of the blunt cone is a simple didactic image. For example it cannot describe the circular paths of a planet around a star : (43)
This simply shows the limit of didactic images. But we can use this last example to illustrate the gravitational lens effect, with two geodesics :
(44)
Below, the mental, euclidean representation of space. There is a mirage effect. Instead a single object, the observer see two "gravitational mirages".