a108
| 8 |
|---|
Формализм, инвариантный по координатам.
Это еще один ключевой термин общей теории относительности. Мы сказали, что работа космолога эквивалентна работе, связанной с предсказанием формы материала из-за внутренних напряжений. Возьмите объект, топология которого соответствует сфере. Это металлическая сфера. Здесь мы также можем изменить ее форму, используя потоки горячего и холодного воздуха. (45)
Эти потоки создают напряжения в металле, что изменяет его форму. Конечно, так как тепло распространяется в металле, если прекратить нагрев и охлаждение, температура сферы вернется к однородности, и ее вид снова станет регулярным. Мы создаем напряжения в материале, что изменяет его геометрию. Это поле напряжений может быть описано математическим объектом, называемым тензором T. Геометрия объекта может быть рассчитана по уравнению поля, аналогичному уравнению Эйнштейна. (46) S = a T, где a — константа, а S — геометрический тензор, описывающий геометрические характеристики. Лучший способ «прочитать» решение — это вычислить систему геодезических. Мы знаем геодезические сферы, но геодезические яйца отличаются. Чтобы выразить эти геодезические, нам нужна система координат. Для сферы мы можем использовать систему (q,j): (47)
В этом особом наборе координат геодезические сферы могут быть выражены в особой форме. Например, кривые: q = постоянная (меридианы)
являются геодезическими. Но кривые
j = постоянная (параллели) не являются геодезическими кривыми этой поверхности. Мы могли бы определить аналогичную систему координат на поверхности «яйцо». Но что-то очевидно: система геодезических существует независимо от ее математического представления (в данном, особом наборе координат). Система геодезических инвариантна по координатам. Другой пример гораздо проще. Рассмотрим геодезические плоской бумаги. Это прямые линии. Мы можем описать эти прямые линии в декартовых координатах: (48) Мы также можем описать эту семью геодезических в полярных координатах. Тогда уравнения полностью разные, но они относятся к одной и той же семье прямых линий. Эти прямые линии, геодезические плоской бумаги, существуют независимо от выбранных координат. Это объекты, инвариантные по координатам. Уравнения не являются внутренним свойством. Это что-то, что не меняется, когда мы переходим от одной системы координат к другой? Да: геодезический путь между двумя точками M1 и M2 не меняется. То же самое для любой линии, проведенной на поверхности. Поверхность, точки, кривая, соединяющая их, существуют независимо от выбранных координат. То же самое для длины пути между M1 и M2. Это также верно для геодезического дуги, который является особой линией, соединяющей две точки: (49) Кстати, этот геодезический путь также является экстремальным путем (например, самый короткий, показанный здесь). Это также верно для пространственно-временной гиперповерхности, которая имеет свой собственный набор геодезических, также инвариантный по координатам. На этой гиперповерхности существует длина s, которая принадлежит объекту и не зависит от выбранной системы координат. Сложный момент в том, что пространство и время не являются независимыми величинами. Мы не живем в 3-мерном пространстве с точками (x, y, z). Мы принадлежим 4-мерной гиперповерхности, полностью описываемой ее системой геодезических. Рассмотрим два различных точки этой гиперповерхности M1 и M2. Такие точки можно описать в определенной системе из четырех координат:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) Эти точки называются событиями. Мы можем вычислить геодезическую кривую, соединяющую их, если она существует. Такие события не идентичны. Между ними мы можем измерить расстояние s, которое инвариантно по координатам. Эта длина называется:
собственное время s
Предположим, что вы и я используем космический корабль, чтобы путешествовать, от точки M1 до другой точки M2, расположенной в пространстве-времени. s — это измерение времени на нашей бортовой часах.
Вы скажете: - Но пространство существует, верно? - Будьте осторожны. Это определение того, что мы называем пространством и «абсолютным временем», соответствует произвольному выбору. Это просто удобные способы «прочитать» поверхность, как когда мы писали уравнение прямых линий на плоской бумаге в двух разных уравнениях. Единственное, что не меняется, что инвариантно по координатам — это интервал собственного времени Δt между двумя событиями, связанными другим объектом, инвариантным по координатам: геодезической линией. Так называемое «абсолютное время» t — это просто немного произвольный хронологический маркер. Изменяя систему координат, вы меняете чтение событий. В статьях, которые мы представим на этом сайте, вы увидите, что это реальная проблема. Во всяком случае, вы понимаете, почему физики и математики выбрали формализм, инвариантный по координатам, основанный на тензорах. Уравнения в форме тензоров инвариантны по координатам.
Таков дух общей теории относительности. Но, за исключением использования сложного оборудования, трудно рассказать вам больше об этом.
Оригинальная версия (английский)
a108
| 8 |
|---|
Формализм, инвариантный по координатам.
Это еще один ключевой термин общей теории относительности. Мы сказали, что работа космолога эквивалентна работе, связанной с предсказанием формы материала из-за внутренних напряжений. Возьмите объект, топология которого соответствует сфере. Это металлическая сфера. Здесь мы также можем изменить ее форму, используя потоки горячего и холодного воздуха. (45)
Эти потоки создают напряжения в металле, что изменяет его форму. Конечно, так как тепло распространяется в металле, если прекратить нагрев и охлаждение, температура сферы вернется к однородности, и ее вид снова станет регулярным. Мы создаем напряжения в материале, что изменяет его геометрию. Это поле напряжений может быть описано математическим объектом, называемым тензором T. Геометрия объекта может быть рассчитана по уравнению поля, аналогичному уравнению Эйнштейна. (46) S = a T, где a — константа, а S — геометрический тензор, описывающий геометрические характеристики. Лучший способ «прочитать» решение — это вычислить систему геодезических. Мы знаем геодезические сферы, но геодезические яйца отличаются. Чтобы выразить эти геодезические, нам нужна система координат. Для сферы мы можем использовать систему (q,j): (47)
В этом особом наборе координат геодезические сферы могут быть выражены в особой форме. Например, кривые: q = постоянная (меридианы)
являются геодезическими. Но кривые
j = постоянная (параллели) не являются геодезическими кривыми этой поверхности. Мы могли бы определить аналогичную систему координат на поверхности «яйцо». Но что-то очевидно: система геодезических существует независимо от ее математического представления (в данном, особом наборе координат). Система геодезических инвариантна по координатам. Другой пример гораздо проще. Рассмотрим геодезические плоской бумаги. Это прямые линии. Мы можем описать эти прямые линии в декартовых координатах: (48) Мы также можем описать эту семью геодезических в полярных координатах. Тогда уравнения полностью разные, но они относятся к одной и той же семье прямых линий. Эти прямые линии, геодезические плоской бумаги, существуют независимо от выбранных координат. Это объекты, инвариантные по координатам. Уравнения не являются внутренним свойством. Это что-то, что не меняется, когда мы переходим от одной системы координат к другой? Да: геодезический путь между двумя точками M1 и M2 не меняется. То же самое для любой линии, проведенной на поверхности. Поверхность, точки, кривая, соединяющая их, существуют независимо от выбранных координат. То же самое для длины пути между M1 и M2. Это также верно для геодезического дуги, который является особой линией, соединяющей две точки: (49) Кстати, этот геодезический путь также является экстремальным путем (например, самый короткий, показанный здесь). Это также верно для пространственно-временной гиперповерхности, которая имеет свой собственный набор геодезических, также инвариантный по координатам. На этой гиперповерхности существует длина s, которая принадлежит объекту и не зависит от выбранной системы координат. Сложный момент в том, что пространство и время не являются независимыми величинами. Мы не живем в 3-мерном пространстве с точками (x, y, z). Мы принадлежим 4-мерной гиперповерхности, полностью описываемой ее системой геодезических. Рассмотрим два различных точки этой гиперповерхности M1 и M2. Такие точки можно описать в определенной системе из четырех координат:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) Эти точки называются событиями. Мы можем вычислить геодезическую кривую, соединяющую их, если она существует. Такие события не идентичны. Между ними мы можем измерить расстояние s, которое инвариантно по координатам. Эта длина называется:
собственное время s
Предположим, что вы и я используем космический корабль, чтобы путешествовать, от точки M1 до другой точки M2, расположенной в пространстве-времени. s — это измерение времени на нашей бортовой часах.
Вы скажете: - Но пространство существует, верно? - Будьте осторожны. Это определение того, что мы называем пространством и «абсолютным временем», соответствует произвольному выбору. Это просто удобные способы «прочитать» поверхность, как когда мы писали уравнение прямых линий на плоской бумаге в двух разных уравнениях. Единственное, что не меняется, что инвариантно по координатам — это интервал собственного времени Δt между двумя событиями, связанными другим объектом, инвариантным по координатам: геодезической линией. Так называемое «абсолютное время» t — это просто немного произвольный хронологический маркер. Изменяя систему координат, вы меняете чтение событий. В статьях, которые мы представим на этом сайте, вы увидите, что это реальная проблема. Во всяком случае, вы понимаете, почему физики и математики выбрали формализм, инвариантный по координатам, основанный на тензорах. Уравнения в форме тензоров инвариантны по координатам.
Таков дух общей теории относительности. Но, за исключением использования сложного оборудования, трудно рассказать вам больше об этом.