a110
| 10 |
|---|
Напротив, на поверхностях существуют настоящие внутренние особенности. Это настоящие геометрические особенности:
(55)
(56)
(57)
И так далее...
Кроме того, складка — это особая область поверхности, где линейная кривизна сосредоточена. На рисунке (57), слева, мы имеем отрицательную линейную кривизну; справа — положительную линейную кривизну.
В каждой подфигуре мы использовали две части сферы. Глобальный объект имеет ту же топологию, что и сфера, что означает, что его полная угловая кривизна равна $4\pi$.
Предположим, что объект слева был построен из двух частей сферы, каждая из которых содержит угловую кривизну $3\pi$:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
Это слишком много. Следовательно, линейная кривизна (отрицательная) должна компенсировать это, чтобы получить окончательное необходимое значение $4\pi$:
В заключение, наша складка содержит отрицательную кривизну:
$$
-2\pi
$$
Эта кривизна равномерно распределена вдоль круговой кривой, вдоль складки.
Вернемся к рисункам (57). Мы представили треугольники, построенные из геодезических линий. Но вы можете пересечь складку без проблем с помощью ленты (узкой). Вы знаете, как рассчитать и предсказать сумму трех углов треугольника. Для этого достаточно сравнить площадь треугольника с площадью сферы. Избыток кривизны равен:
$$
\text{(58)}
$$
Но вы должны учитывать кривизну (отрицательную или положительную), содержащуюся в участке складки, то есть в дуге $mn$. Эта кривизна равна:
$$
\text{(59)}
$$
Предположим, что какая-то линза, справа от рисунка (57), построена из двух частей сферы, каждая из которых содержит угловую кривизну $\pi$. Таким образом, если игнорировать складку, этот набор из двух частей сферы содержит угловую кривизну $2\pi$. Однако эта линза имеет сфероидальную топологию; следовательно, вклад угловой кривизны должен быть $2\pi$. Следовательно:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(полная кривизна сферы)}
$$
Вы также можете предсказать сумму углов этого странный треугольник, образованного тремя геодезическими линиями. Дуга $mn$ содержит следующую линейную угловую кривизну:
$$
\text{(60)}
$$
Когда измеряется количество угловой кривизны, содержащейся в складке внутри треугольника, можно оценить отклонение от евклидовой суммы, которая равна $\pi$.
Таким образом, вы видите, что вы можете относительно легко решать эти проблемы кривизны на поверхностях.
Поверхность может иметь конические точки или линии складок. Это внутренние особенности, а не эти искусственные особенности, вызванные выбором определенных координат. Заметим, что складку можно сгладить; тогда получается форма, похожая на арахис:
$$
\text{(61)}
$$
Это похоже на сглаживание точечной вершины конуса (сосредоточенная угловая кривизна), превращающая объект в закругленный конус (угловая кривизна распределена на участке сферы).
Предположим, что две части сферы, представленные выше на рисунке (61), соответствуют каждой $2/3$ сферы, то есть кривизна:
$$
\text{(62)}
$$
Серая часть "арахиса" содержит отрицательную кривизну, а именно:
$$
\text{(63)}
$$