a111
| 11 |
|---|
Представительное пространство.
Мы видели, в предыдущем разделе, что цилиндр может быть сплющен. Теперь возьмите лист бумаги, плоский лист. Это евклидовая поверхность. Вы можете на ней провести геодезические. Теперь скомкайте его. (64)
Если бы вы могли сделать эту скомканную поверхность жесткой и провести на ней геодезические с помощью скотча, вы снова получили бы тот же самый набор! Поверхность действительно не изменилась. Если бы житель жил в таком "плоском мире", он, возможно, не осознал бы процесс скомкания. Для него все осталось бы нормальным, как и сегодня: следуя геодезическим своей 2D-поверхности пространства-времени, например.
Скомкав лист, вы просто изменили представительную систему, то есть способ, которым 2D-поверхность погружена в 3D-евклидово пространство.
Более простое изменение — преобразовать плоский лист металла в волнистую поверхность. См. рисунок (65) (65)
Много лет назад я был в большом рынке Аддис-Абебы, Эфиопия. Там металл редкий. Вы находите мастерские, где молодые люди превращают волнистые листы железа в плоские пластины, используя простой молоток. Если бы один из них провел геодезическую до операции, мы бы обнаружили, что система геодезических осталась неизменной.
Но, чтобы быть честным, я не уверен, что этот человек знает, что такое геодезическая, с математической точки зрения, конечно. Любой, кто строит корзины, естественно использует геодезические линии.
Я помню, что я был учителем по плетению корзин в лагере отдыха рядом с Берлингтоном и озером Чамплейн, в Вермонте... много лет назад.
Помните, что геометрические объекты имеют свою собственную существование и свойства, независимо от того, как вы их представляете в пространстве с большим количеством измерений. Скомканный или нет, лист остается листом, то есть евклидовой поверхностью.
Мы должны жить в 4D-гиперповерхности. Мы все должны жить одинаково, по сути. Но моя жена Клер, которая очень привлекательная, убеждена, что я живу в пространстве с большим количеством измерений (пять, по ее мнению). Это иногда вызывает трудности в общении, когда я нахожусь где-то в своей личной пятой измерении.
Но действительно ли женщины живут в 4D-гиперповерхности? Иногда я в этом сомневаюсь, но это другая тема.
Предположим, вы живете в 4D-гиперповерхности и следуйте геодезическим этого пространства-времени, как бык следует за своим бороздой.
Теперь предположим, что вы — Бог. Вы хотите полное представление этой 4D-гиперповерхности. Тогда вам нужно как минимум одно дополнительное измерение. Лично я думаю, что, если Бог существует, он должен жить в 10D-гипермире. Следующие аргументы будут разработаны в Геометрической физике B, и они происходят из теории групп.
Имеет ли Бог структуру группы?
Практически, специалист по общей относительности вычисляет решение уравнения поля (решение Эйнштейна). Затем он изучает систему геодезических. Это «прямые линии в 4D». В пространстве-времени, следуя геодезическим, общее правило:
- Идите прямо! Не поворачивайте влево или вправо.
Вы подчиняетесь, просто потому что не можете ничего другого. Поворот — это абсурд в пространстве-времени. Все, каждый «идет прямо».
Но вещи, траектории, маршруты, кажутся изогнутыми для наших глаз в 3D. Мы читаем это в нашем мысленном представлении пространства. Мы сталкиваемся со стеной пещеры Платона, наблюдая за танцующими 3D-тенями.
Вернемся к нашему 2D-дидактическому изображению, к усеченному конусу. Он должен изображать пространство вблизи концентрации массы (серая зона). Мы предполагаем, что он соответствует стационарному состоянию.
Мы можем использовать сферические координаты (r, q, j) как пространственные маркеры (в 3D). В 2D у нас есть только две: (r, q).
Затем мы можем спроецировать рисунок на плоскость и использовать те же самые полярные координаты. См. следующий рисунок.
(66)
Как уже говорилось выше, поверхность усеченного конуса — это грубая дидактическая модель, предлагающая особое решение уравнения поля Эйнштейна
(67) S = c T
созданное в 1917 году Шварцшильдом. Это блестящая и изобретательная работа. Просто скажем, что в то время Альберт не был одиночным гением, потерянным на пустынном острове. Многие люди думают, что великий немецкий математик Гильберт изобрел «уравнение Эйнштейна». Другие предположили, что миссис Эйнштейн могла эффективно внести вклад в создание специальной теории относительности, которая естественно следует из работ Пуанкаре и Лоренца (если вы посмотрите на работы Эйнштейна, вы увидите, что он редко упоминает других людей).
Решение Шварцшильда — это веха в общей теории относительности. Им пользуются для вычисления релятивистских траекторий планет вокруг Солнца, подчеркивая прецессию перигелия Меркурия.
Каждый сразу скажет:
- Почему Шварцшильд не рассчитал это сам?
Была очень хорошая причина: он был мертв.
Шварцшильд был патриотом и настаивал на том, чтобы отправиться на фронт в 1917 году. Там он был отравлен газом и позже умер. Эйнштейн продолжил работу, которая стала «теорией Эйнштейна».
Это было решение стационарного состояния. Позже Эйнштейн попытался построить модель Вселенной, где кривизна могла быть идентифицирована с плотностью энергии-материи. Но в то время никто не знал, что Вселенная не стационарна. Альберт попытался построить стационарную модель, но дела не шли хорошо. Затем он посетил Эли Картана, великого французского математика, который посоветовал добавить константу в уравнение поля, что и сделал Эйнштейн.
Затем русский пилот планера по имени Фридман придумал нестационарное решение. Примерно в то же время Эдвин Хаббл обнаружил красное смещение и нестационарные характеристики Вселенной. Эйнштейн был очень расстроен и сказал:
- Если бы я знал, что Вселенная не стационарна, я бы нашел решение раньше Фридмана!
Как говорили лакедемоняне.
Но эта история не закончилась. Сначала Фридман построил циклическое решение, одно из трех, составляющих «модели Фридмана».
Эйнштейн молчал годы. Затем, после смерти Фридмана, он опубликовал «модель Эйнштейна-де Ситтера», «параболическое решение Фридмана».
Позже молодой польский исследователь по имени Калуца подал статью «Профессору Эйнштейну», которую отклонили более чем на год. Калуца пожаловался Эйнштейну, который ответил:
- Вы должны внимательнее посмотреть на эту теорию. Я скептически настроен...
Много лет спустя идея Калуцы (добавление пятого измерения в пространство-время) стала началом продвинутых работ (включая подход струн). См. Геометрическая физика B.
Ну, Альберт не был таким спортивным...
Вернемся к стационарной 3D-модели, соответствующей геометрии пространства-времени вокруг Солнца. Расчет дает геодезические, расположенные в плоскостях. Если эффект кривизны умеренный и скорость мала по сравнению со скоростью света c, их проекция, в представительном евклидовом пространстве-времени, соответствует почти кеплеровым траекториям и законам Кеплера. Мы можем игнорировать время и представлять эти геодезические на плоскостях, используя полярные координаты.
r = f (q).
В решении Шварцшильда на самом деле существует два связанных «метрических решения», как указано на рисунке (68). Внутри «массивного тела» плотность массы r предполагается постоянной. Там тензор энергии-материи T не равен нулю. Но снаружи r и T равны нулю.
(68)
Это составная геометрия. В 3D плотность массы имеет резкую нестабильность на поверхности (предположительно сферической) «концентрации массы». Это похоже на нестабильность плотности угловой кривизны на поверхности (ненулевая в серой области, нулевая снаружи). Граница становится сферой S1, то есть... кругом.
В 4D математическая связь может быть построена, чтобы обеспечить непрерывность геодезических линий. Это похоже на связующую часть сферической части или позикона.
Когда масса становится значительной (что нельзя описать нашим грубым 2D-дидактическим моделью), замкнутые траектории больше не являются эллиптическими.
См. рисунок (69). Этот рисунок соответствует траектории космического аппарата вокруг нейтронной звезды.
Траектория Меркурия вокруг Солнца похожа, но прецессия перигелия эллиптических траекторий составляет 0,15° в столетие.
(69)
В какой-то момент мы включим формулы и программу, позволяющую играть с этой проблемой. Это не очень сложно.
Некоторая математическая информация в конце этой страницы и на следующей, если вы хотите, вы можете перейти прямо на страницу 13
Оригинальная версия (английский)
a111
| 11 |
|---|
Representative space.
We have seen, in a preceeding section, that a cylinder can be put flat. Now, take a piece of paper, a flat sheet. It is an euclidean surface. You can draw geodesic on it. Now crumple it. (64)
If you could make this crumpled surface rigid and draw geodesics on it, with sticky tape, you would meet again the same system ! The surface wasn't really changed. If some inhabitant lives in such a "flatland" he perhaps can't realize the crumpling process. Everything would stay normal for him, what life is like for him today : following geodesic of his 2d space time surface, for exemple.
Crumpling the sheet, you have just modified the representative system, the way the 2d surface imbeded in 3d euclidean space.
A simpler modification is to transform a flat sheet of metal into a corrugated surface. See figure (65) (65)
Many years ago I was in big market of Addis Abeba, Ethiopia. There, metal is rare. You find factories where young men transform corrugated iron surfaces into flat plates, using a simple hammer. If one of them would have drawn a geodesic before operation, we would have found that the geodesic system would be unchanged.
But, to tell the truth, I not really sure that this kind of guy knows what a geodesic is, from a mathematical point of view, of course. Any person who build baskets uses geodesing lines, naturally.
I remember I was a teacher in basketry, at a holiday camp, near by Burlington and lake Champlain, Vermont ... many years ago.
Keep in mind that geometrical objects have their own existence and properties, which are independent from the way you figure it, in a higher dimensions' number space. Crumpled or not, a sheet is a sheet, i.e. an euclidean surface.
We are supposed to live in a 4d hypersurface. We all are supposed to live the same, by the way. But my wife Claire, who is a very charming person, is conviced that I live in a higher dimensions's space (five, she thinks). It induces, sometimes, some difficulties for communication when I am staying somewhere in my personal fifth dimension.
But do females really live in a 4d-hypersurface ? Sometimes I am skeptical about it, but that is another subject.
Admit you live in a 4d hypersuface and follow the geodesics of this space-time, that you follow like an ox following its furrow.
Now suppose you are God. You want a full representation of this 4d hypersurface. Then you need at least one more dimension. Personnaly, I think that, if God exists, he must live in a ten dimensional hyperworld. The subsequent arguments will be developped in Geometrical Physics B, and come from group theory.
Does God owns a group structure ?
Practically, the specialist of general relativy computes a solution of a field equation (Einstein's solution). Then he examines the geodesic system. They are "straight 4d-lines". In space-time, as you follow geodesics, the general order is :
- Go straight ! Don't turn left or right.
You obey, just because you cannot do something else. Turning is a nonsense, in space-time. Everything, everybody "goes straight".
But things, paths, trajectories, look bent for our 3d eyes. We read it in our mental space representation . We face the wall of Plato's cavern, looking at dancing 3d- shadows.
Let return to our 2d didactic image, to the blunt cone. It is suposed do figure space at the vicinity of a mass-concentration (grey area). We assume it corresponds to steady-state.
We may use spherical coordinates (r , q , j) as space-markers (in 3d). In 2d we have only two : (r , q).
Then we can project the figure on a plane and use the same set of polar coordinates. See next figure.
(66)
As said above, the blunt cone surface is a crude didactic model, suggesting a peculiar solution of the Einstein field equation
(67) S = c T
built in 1917 by Schwarzschild. This is a brilliant and clever work. Just to say that, in that time, Albert was not a lonely genious, lost on a desert island. Many people think that the great German mathematician Hilberth invented the "Einstein's equation". Some others have suggested that madam Einstein could have contributed efficiently to the building of special relativity, which comes naturally from the works of Poincaré and Lorentz (if you look at Einstein's works, you will see that he rarely mentions other people).
Schwarzschild's solution is a milestone of general relativity. One uses it to compute the relativistic trajectories of planets around the sun, evidencing the precession of Mercury's perihelion.
Anyone would say immediatly :
- Why did Schwarzschild not calculate that by himself ?
There was a very good reason for it: He was dead.
Schwarzschild was a patriot and insisted on going to the front, in 1917. There he was gassed and died later. Einstein continued the job, which became "the Einstein theory".
It was a steady state solution. Later Einstein tried to build a model of the universe, where curvature could be identified to energy-matter content. But, at this time, nobody knew that univers was non-steady. Albert tried to build a steady state model, but things were not so good.Then he visited Elie Cartan, a great French mathematician, who recommended to add a constant in the field equation, which is what Einstein did.
Then a Russian glider pilot named Friedmann invented a non-steady solution. About the same period Edwin Hubble discovered the red shift and non-steady features of the Universe. Einstein was very disappointed and said :
- If I had of known that Universe was non steady, I would have found the solution before Friedmann !
If, the Lacedemonian used to say.
But that story didn't end there. Initially, Friedmann had built the cyclic solution, one of the three which compose the "Friedmann models".
Einstein kept silent during years. Then, after Friedman's death, he published the "Einstein-de Sitter's model", "the parabolic Friedmann solution".
Later a young Polish researcher named Kaluza submitted a paper to "Professor Einstein", refused to publish it for more than a year. Kaluza complained to Einstein, who replied :
- You should look closer to this theory. I am skeptical.....
Many years later Kaluza's idea (adding a fifth dimension to space-time) became the starting point of advanced works (including the superstring approach). See Geometrical Physics B.
Well, Albert was not such a sport......
Let us return to the steady-state 3d model corresponding to space time geometry around the sun. The calculation gives geodesics located in planes. If the curvature effect is moderate, and the velocity small with respect to light velocity c , their projection, in a representative euclidean space-time, corresponds to quasi keplerian paths and Kepler's laws. We can forget time and figure these geodesic in planes, using polar coordinates.
r = f (q).
In the Schwarzschild solution, there is, in fact two linked "metric solutions", as evoked on figure (68). Inside the "massive body" the mass density r is supposed to be constant. There the energy-matter T tensor is non-zero. But, outiside, r and T are null.
(68)
This is a composite geometry. In 3d the mass density shows an abupt discontinuity at the surface (supposed to be a sphere) of the "mass concentration". This is similar to the discontinuity of the angular curvature density on the surface (non-zero in the grey area, null outside. The border becomes a S1 sphere, i.e. a ... circle).
In 4d the mathematical link can be built, in order to ensure the continuity of the geodesic lines. This is similar to the linkeage portion of a sphere-portion of a posicone.
When the mass becomes important (which cannot be described by our crude 2d didactic model) the closed paths are no longer elliptical.
See figure (69). This drawing corresponds to the trajectory of a spacecraft around a neutron star.
The trajectory of Mercury around the sun is similar but the precession of the perihelion of the eliptic paths is 0.15 ° per century.
(69)
Someday we will include the formulas and program which makes possible to play with that problem. It is not very difficult.
Some mathematical information on the end of this page and on the next one, if you want you can go directly to page 13