a122
| 23 |
|---|
Геометрический контекст.****
Сфера — это двумерный геометрический объект. Нам нужно две величины, два числа, два скаляра, чтобы определить точку на ней.
Сфера — это поверхность, которая обладает топологией. Ее топология отличается от топологии тора.
У обоих есть геодезические системы. Как указано в предыдущем разделе, мы можем представить себе два различных точки M1 и M2 на сфере и кривую, соединяющую эти две точки. Затем мы можем измерить длину вдоль этого конкретного пути. Это количество инвариантно относительно изменения координат. Сфера S² существует независимо от любого 3D-представительного пространства. Но мы можем представить ее в нашем привычном евклидовом 3D-пространстве, в котором мы предположительно живем. Тогда мы можем приписать ей центр и соединить все ее точки с этим центром. См. рисунок (116). Каждая точка соответствует двум углам: q и j.
(116)
Мы сделали отверстие в сфере, чтобы показать векторы OM, где O — центр, а M — точка на сфере.
Теперь, на рисунке (117) сохраняются векторы, а сфера забывается.
(117)
Эти полупрямые бесконечны, но мы изобразили их обрезанными на определенной длине, соответствующей радиусу R нашей сферы. Каждая прямая соответствует паре (q, j). Метрическая структура исчезла. Нет геодезических, нет длины. Что остается?
Каждая из этих полупрямых имеет соседей, образующих ее окрестность. Каждую полупрямую можно представить как заключенную в последовательность конусов (рисунок (118)).
(118)
Вокруг любой прямой мы можем разместить столько конусов, сколько хотим. Между двумя из этих конусов мы всегда можем вставить еще один. Это интуитивно подсказывает понятие дифференцируемости. В таком геометрическом объекте нет разрывов.
Теперь забудем о сфере и возьмем плоскую поверхность. Это множество точек. Какой бы системой координат я ни выбрал, я могу определить точки с помощью двух величин: (x, y), (r, q) и т.д.
Пара действительных чисел. Эти пары выбираются из R², то есть из множества действительных чисел, например (3,8705, -17,56).
Любая пара действительных чисел (x; y) имеет бесконечное количество соседей (x + Dx; y + Dy).
Эти «до-метрические» объекты математики называют многообразиями.
Сложно представить такой «гибкий» среду. На рисунке (119) мы изобразили жесткую плоскую поверхность, обладающую метрическими свойствами, а ниже — тень ее точек.
(119)
Тень не имеет собственной формы и протяженности. Она зависит от экрана и производства световых лучей. На рисунке (120) мы предлагаем относительность тени по отношению к объекту.
(120)
Эти «параллельные линии» похожи на те лучи, которые мы ввели, чтобы соединить точки сферы с ее центром. Здесь точки плоскости «связаны» с «источником», находящимся на бесконечности.
Откажемся от последней идеи прямых линий. Рассмотрим пучок приготовленных спагетти (если они не приготовлены, они должны быть жесткими и хрупкими). Мы можем их изогнуть. Но мы требуем, чтобы спагетти оставались соединенными. Их окрестность не должна быть изменена.
(121)
Все это очень грубо, я знаю, и не полностью строго. Я просто хочу подсказать читателю, что такое многообразие, геометрический объект без метрики, главной характеристикой которого является то, что у каждого точки есть соседи.
Многообразие — это множество точек m. Я могу представить, что я связываю каждую точку многообразия с парой (M1, M2) точек, принадлежащих реальным поверхностям, обладающим метрическими свойствами, длинами и т.д.
Я называю n-мерное многообразие скелетным многообразием, а связанные с ним n-мерные поверхности просто складками. Затем я строю двойную складку многообразия.
На рисунке (122) находится двойная складка многообразия m2 (два измерения).
(122)
На рисунке (122) я изобразил одинаковые, параллельные евклидовы складки (плоскости) с одинаковой метрикой. Но я могу построить рисунок (123):
Мы будем называть M и M* сопряженными точками. Построение этих двух складок из «скелетного многообразия» имеет точный смысл: каждую точку M складки F мы можем сопоставить единственную сопряженную точку M*. Существует отображение точка в точку. Тогда мы можем забыть о скелетном многообразии.
К окрестности любой точки складки F соответствует окрестность ее сопряженной точки M*. См. рисунок (124). Это означает, что каждой регулярной области F соответствует сопряженная регулярная область, принадлежащая F*.
(124)
Это показывает, в частности, что сопряженные точки M и M* описываются одним и тем же набором координат.