a123
| 24 |
|---|
Сопряженные кривизны.****
Как понять 3-мерные пространства, имеющие локальную положительную или отрицательную кривизну?
Начнем с 2-мерных поверхностей. Рассмотрим сферу и закрепим гвоздь в какой-либо точке на ней, как показано на рисунке (125). Закрепим нить длиной L, соединяющую гвоздь и карандаш. Мы можем использовать это, чтобы нарисовать окружность, параллель сферы. Параллель сферы — это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии L от заданной точки S.
Мы можем провести аналогичные операции (рисунки (125)):
- На седле лошади
- На плоскости.
(125)
На плоской поверхности периметр равен 2πL, а площадь диска равна πL².
На сфере периметр и площадь диска меньше. В противоположность этому, на седле лошади они больше.
Рассмотрим сферу и параллель, соответствующую ее экватору. См. рисунок (126). Значения соответствуют рисунку (126).
(126)
Площадь диска в 3,875 раз больше соответствующей (серой) части сферы. Его периметр в 1,57 раза длиннее длины экватора.
Подобные тесты покажут отрицательную кривизну седла лошади. Если мы нарисуем замкнутую кривую, множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии L от заданной точки, на седле лошади, площадь этого диска с отрицательной кривизной будет больше площади плоского диска πL². Точно так же периметр диска с отрицательной кривизной будет больше периметра плоского диска: 2πL.
Геометрия — наука для слепых. Геометры пытаются создать тесты, которые жители данного пространства могли бы провести, чтобы самостоятельно обнаружить его геометрические свойства. Из предыдущих рисунков жители двумерной поверхности, не способные увидеть эту поверхность с внешней точки (так как они живут внутри нее), могли бы обнаружить, измеряя площадь и длину, имеет ли участок поверхности, в котором они живут, положительную локальную кривизну, отрицательную локальную кривизну или нулевую локальную кривизну (евклидово пространство).
Обратите внимание, что существуют поверхности, локальная кривизна которых может быть положительной, нулевой или отрицательной. Пример: тор.
(126ter)
Аналогичные методы применяются к 3-мерным пространствам. Выберите точку O, где угодно. Возьмите нить, "карандаш" и используйте их, чтобы нарисовать множество точек, находящихся на заданном расстоянии L от рассматриваемой точки. Вы получите сферу и сможете измерить ее площадь. Если эта поверхность была построена в евклидовом 3-мерном пространстве, эта площадь будет: 4πL².
Если эта площадь окажется меньше, это означает, что это 3-мерное пространство не евклидово. Это 3-мерное пространство Римана с положительной кривизной. Если мы измерим объем, мы увидим, что он меньше:
(127)
Ситуация будет обратной, если мы будем иметь дело с 3-мерным пространством с отрицательной кривизной. Площадь сферы, рассматриваемой как множество точек, находящихся на заданном расстоянии L от фиксированной точки O, будет больше, чем 4πL². Объем внутри этой замкнутой поверхности будет больше, чем (127).
Космология не основана на простых 3-мерных пространствах, а на 4-мерных гиперповерхностях (с "гиперболическим знаком"), поэтому такое представление ограничено. Его следует рассматривать как грубую дидактическую модель.
Скалярная кривизна Римана n-мерного пространства немного отличается.
В нашем текущем космологическом моделировании мы предполагаем, что локальная скалярная кривизна Римана в сопряженных точках (M, M) противоположны:
*(127bis)
R* = - R
Специалист найдет больше деталей в статье:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, март 1998.
Далее, полезное дидактическое изображение в 2-х измерениях, соответствующее рисунку 39.
(128)
Вверху: сглаженный позикон. Нулевая локальная (угловая) кривизна в части позикона. Постоянная положительная (угловая) плотность кривизны в (серой) части сферы.
Внизу: "сглаженный негакон". Нулевая локальная (угловая) плотность кривизны в части негакона, окружающей седло лошади. Постоянная отрицательная (угловая) плотность кривизны в части седла лошади, противоположной части сферы.
Кривизны сопряжены. Лицом к лицу, с точечным соответствием, части с нулевой локальной кривизной позикона и негакона.
Лицом к лицу, с точечным соответствием, поверхность с постоянной положительной кривизной (часть сферы) и поверхность с отрицательной кривизной (седло лошади). Плотности кривизны равны и противоположны. Круговые края соединены, точка к точке.
Это дидактическое изображение нашей космологической модели. Для более подробной математической информации см.:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, март 1998.