Геодезические.
...В дальнейшем мы имеем дело с двумерными поверхностями. Кстати, почему поверхность является двумерным объектом? Потому что для локализации точки на ней нужны два параметра. Пример: долгота и широта на Земле.
...Это вещи, которые вы лучше поймёте руками, чем головой. Попробуйте найти кое-что, прежде чем начать читать этот текст. Вам нужно:
- Бумага, одновременно плотная и гибкая.
- Цветная липкая лента.
- Ножницы
...Далее с помощью такой цветной липкой ленты вы можете делать полоски постоянной ширины.
(6)
...Возьмите любую поверхность, например кузов вашего автомобиля. Вы можете приклеить на него полоску липкой ленты, тщательно избегая складок. Тогда вы получите геодезические этой поверхности. Их бесконечно много на кузове вашего автомобиля.
Вы можете сделать это на плоской тарелке. Тогда вы получите «прямые линии вашей плоскости».
«Прямые линии» — это всего лишь особые геодезические, те, что на плоскости.
(7)
С помощью трёх геодезических вы делаете треугольник на этой «евклидовой поверхности». Тогда сумма трёх углов равна 180°.
Позиконы.
...Теперь давайте построим «позикон», нечто вроде «положительного конуса». Просто возьмите лист бумаги, плоскую поверхность, и вырежьте ножницами сектор. Затем соедините линии SA и SB, как показано на следующем рисунке.
(8)
...Теперь с помощью нашей липкой ленты мы рисуем три геодезические линии на этой поверхности, как показано на рисунке (9). Мы можем измерить сумму трёх углов и обнаруживаем два случая:
Если треугольник не содержит вершину S этого позикона, сумма по-прежнему равна 180°.
Если он содержит вершину, как бы он ни был расположен вокруг неё, малый или большой, сумма равна: 180° + q.
(9)
Чтобы понять, вы можете разрезать свой позикон и положить его плоско. Тогда ваш угол q станет ясно виден.
(10)
...Вы можете легко проверить, что две прямые линии AH и, следовательно, мы можем легко проверить, что прямые линии SH и SH' образуют угол, равный q.
... Конус — это поверхность, которую можно положить плоско после разреза вдоль линии, содержащей вершину. По-французски мы говорим, что это «développable» поверхность, но я не нахожу английского слова в своём словаре. То же самое для цилиндра.
(11)
...Вы можете рисовать геодезические линии на цилиндре с помощью полоски липкой ленты. Но после того, как вы сделаете разрез и положите цилиндр плоско, ваши геодезические линии станут... прямыми линиями.
Вы также можете катать такие поверхности (конус, цилиндр) по плоскости. Следующий рисунок.
(12)
...Вы можете нарисовать геодезическую на конусе или на цилиндре чернилами, а затем прокатить его по плоскости, используя его как печатную матрицу. Тогда на вашей плоскости вы напечатаете прямые линии.
...И наоборот, если вы нарисуете прямые линии на своей плоскости и прокатите по ней конус или цилиндр, пока чернила не высохли, вы напечатаете на нём геодезические.
