| 3 |
(Положительная) кривизна.
Когда мы рисуем треугольник с помощью нашей липкой ленты на плоскости,
сумма углов равна 180°. Это евклидова поверхность. Мы
скажем, что она не содержит кривизны. Это действительно плоская поверхность. Сумма
углов нашего треугольника — это евклидова сумма. Когда мы рисовали треугольник
на нашем конусе, нашем «позиконе», и когда вершина S находилась вне его, сумма
по-прежнему составляла 180°. Напротив, когда вершина находилась внутри, сумма была 180°
плюс угол q (разрез, который мы сделали, чтобы построить наш позикон, см. рисунок (8)).
Эта вершина — особая точка поверхности, коническая, и мы скажем, что она содержит некоторую (положительную) сосредоточенную кривизну.
Это точка сосредоточенной (положительной) кривизны.
Теперь мы можем сделать два разреза, соответствующих углам q1
и q2. См.
рисунок (13). Тогда мы получим странную поверхность с двумя коническими точками S1
и S2. См. рисунок (14).
(13)
(14)
Теперь вы можете нарисовать сколько угодно геодезических треугольников,
соответствующих разным случаям.
-
Если они не содержат конической вершины, сумма углов
равна 180°. -
Если они содержат вершину S1, сумма равна
180° плюс q1. -
Если они содержат обе вершины, q1
и q2,
сумма равна 180° + q1+
q2
(15)
Представьте теперь, что вы можете сделать большое количество крошечных позиконов
и склеить их вместе, как показано на рисунке (16). Каждый крошечный позикон соответствует
элементарному углу Dq
. Вы можете расположить эти мини-коны регулярным образом. Я имею в виду: расстояние
между вершиной и вершинами соседних мини-конов было бы почти
постоянным повсюду.
(16)
Если ваши мини-коны становятся всё меньше и меньше, как и
связанный с ними элементарный угол Dq
, вы построите часть регулярной поверхности с постоянной плотностью кривизны.
Сфера — это поверхность с постоянной локальной плотностью кривизны.
Проще говоря, говорят, что сфера — это поверхность постоянной кривизны.
Если вы расположите свои мини-коны иначе, вы можете построить
поверхность с переменной локальной плотностью кривизны. Например, яйцо.
Куриное яйцо — это поверхность с переменной локальной плотностью кривизны. Но шарик для пинг-понга
— это поверхность с постоянной плотностью кривизны. Именно так курица узнаёт
своё яйцо и отличает его от шарика для пинг-понга. Она рисует геодезические
с помощью липкой ленты и так далее...
На самом деле курица физически не вычерчивает геодезические
на объекте. Она делает это мысленно.
(17)
В общей теории относительности плотность массы r
отождествляется с локальной кривизной.
Конечно, площадка общей теории относительности — не двумерная
поверхность. Вы можете представить трёхмерную гиперповерхность. Вы можете представить трёхмерную
гиперсферу.
Но кто может представить четырёхмерную гиперповерхность?
Кстати, четырёхмерная кривизна четырёхмерной гиперповерхности, называемой
«вселенной», имеет особые черты, которые мы здесь не будем исследовать. Это показывает,
что дидактические модели ограничены. Но они хороши для стимуляции воображения
и для открытия ума навстречу несколько иным мирам.
