а104

Дидактический образ небесного тела (звезда, планета, плотное яйцо)

Звезда, подобная Солнцу, представляет собой концентрацию массы. Вокруг — пустота, или часть пространства, которая «почти пуста», ибо содержит очень разреженный газ и фотоны. В двумерном представлении соответствующий дидактический образ — это тупой (позитивный) конус:

(18)

Его можно составить из двух компонентов. Часть сферы и часть (позитивного) конуса, склеенные вместе. Часть сферы — это поверхность постоянной плотности кривизны. Часть конуса — плоская поверхность, поверхность с нулевой локальной плотностью кривизны. Этот последний пример — евклидова поверхность. Часть сферы — неевклидова поверхность (риманова поверхность).

Это двумерный дидактический образ объекта постоянной плотности r, окружённого пустотой.

Как соединить два элемента вместе, чтобы обеспечить непрерывность касательной плоскости? Это просто. Ваша часть конуса происходит от конуса, разрез которого соответствовал углу q. Ваша часть сферы предполагается построенной из элементарных мини-позиконов, так что она содержит определённое «количество угловой кривизны» q. Если два угла равны, касательная плоскость будет непрерывной.

Но как измерить количество кривизны, содержащееся в данной части сферы?

Полная кривизна.

Мы можем построить поверхность, соединяя элементарные позиконы. Мы можем расположить их так, чтобы получить поверхность постоянной плотности кривизны. Тогда мы знаем, что поверхность является частью сферы. Если мы добавим всё больше и больше элементарных (позитивных) конусов, эта сфера станет полной. Она содержит определённое количество угловой кривизны. Все сферы содержат одинаковое. Полная угловая кривизна мячика для пинг-понга и полная угловая кривизна Земли равны, хотя они имеют очень разный вес.

Кстати, полная кривизна яйца такая же, ибо они имеют одинаковую топологию. В принципе, курицы делают яйца со сферической топологией. Лично я никогда не видел яйца с тороидальной топологией. Оно соответствовало бы какой-то странной змее, без головы и без хвоста, или чему-то в этом роде.

Вернёмся к мячикам для пинг-понга, нормальным сферам. Если эта поверхность имеет постоянную локальную угловую плотность, это означает, что количество угловой кривизны (сумма элементарных углов Dq) будет пропорционально площади. См. рисунок 19. Эта площадь может быть ограничена любой границей. Но мы можем использовать геодезические сферы. Назовём S площадь сферы, а s — серую площадь внутри треугольника.
(19)

Выше мы видели, что (положительное) отклонение от евклидовой суммы (180°) для треугольника, нарисованного на поверхности, зависит от числа вершин конусов, находившихся внутри. Сумма была 180° плюс все углы, соответствующие этим заключённым вершинам.

Обратно, если я измеряю отклонение от евклидовой суммы, я могу измерить количество кривизны, содержащееся внутри треугольника.

Геодезическая сферы называется большим кругом сферы. См. рисунок (20). Меридианы, экватор — большие круги сферы.
(20)

Мы можем разрезать нашу сферу на восемь равных по площади частей. См. рисунок (21). Мы получим восемь треугольников, все углы которых равны 90°. Тогда отклонение от евклидовой суммы составляет 90°. Каждый из этих треугольников содержит угловую кривизну, равную 90°. В заключение полная кривизна, полная угловая кривизна сферы равна 8 x 90° = 720° = 4 p.

(21)

Каждый серый треугольник содержит p/2.

Вам нравятся искривлённые поверхности, геометрия римановых поверхностей?

Если мы вернёмся к нашему тупому конусу, мы увидим, что угловая кривизна содержится внутри круговой границы, в области постоянной плотности кривизны. Боковая стенка конуса не является ограниченной поверхностью. Вы можете продолжить её до бесконечности, если хотите. Количество угловой кривизны не зависит от периметра границы, от площади части сферы. Эту последнюю можно уменьшать. См. рисунок (22). Даже сведённая к простой точке, она будет содержать то же количество угловой кривизны. Вот почему мы говорим, что коническая точка была точкой сосредоточенной кривизны. Обратно, мы можем строить гладкие поверхности с набором конических точек.

Материя состоит из атомов. Атомы можно рассматривать как точечные объекты. Они являются «точками сосредоточенной кривизны» в трёхмерном пространстве.

Воздух, которым вы дышите, — это среда постоянной плотности. Он состоит из молекул, атомов. Это набор точек сосредоточенной кривизны, связанных евклидовыми частями пространства. Вы уподобляете это среде постоянной кривизны.

В следующий раз, когда будете дышать, подумайте об этом. .

(22)