Негаконы.
Построим теперь то, что мы назовём «негаконом». Чтобы построить позикон, мы удалили сектор из плоскости. Здесь мы добавляем один, соответствующий углу q:
(30)
На этой поверхности мы можем чертить геодезические линии с помощью нашей липкой ленты и составить треугольник из трёх таких линий. Если измерить сумму углов, вы увидите, что она равна 180°−q. Мы скажем, что это определяет концентрацию отрицательной кривизны.
В вашем доме есть объекты с отрицательной кривизной. Некоторые сиденья, например: (30 бис)
Если мы возьмём диск, мы получим фигуру (31):
(31)
Конечно, если треугольник, составленный из трёх геодезических, не содержит вершину S, которая содержит всю (отрицательную) угловую кривизну, сумма будет евклидовой: 180°.
Лошадиное седло.
Вы можете построить великое множество элементарных негаконов
с углом −Dq и соединить их. Вы можете делать это так, чтобы расстояние между двумя соседними вершинами было почти постоянным. Тогда вы построите поверхность с постоянной плотностью отрицательной кривизны: лошадиное седло. Но эта поверхность никогда не станет замкнутой.
Обычно геометр называет её поверхностью постоянной отрицательной кривизны.(32)
«Тупой негакон».
В предыдущем разделе, используя поверхность с постоянной плотностью положительной кривизны (часть сферы) и часть позикона, мы построили тупой позикон.
Аналогично мы можем построить то, что назовём тупым негаконом. Нам нужно соединить лошадиное седло с частью негакона вдоль их общей круговой границы. Чтобы обеспечить непрерывность касательной плоскости, (отрицательная) кривизна, содержащаяся в лошадином седле, должна быть равна отрицательной кривизне, задействованной в построении негакона.
Построить требуемую часть негакона относительно легко!
(33)
NB: Как и позикон, негакон можно использовать в качестве печатной матрицы. Но трудно представить, как катить негакон по плоской плоскости. Поэтому проще катить плоскость по матрице отрицательной кривизны.
Гутенберг изобрёл технику печати. Рельефный рисунок вырезается на плоскости. Затем на него наносят краску и прижимают к плоскости.
Позже печатную матрицу превратили в цилиндр для печати газет (ротационная печать).
Но никто, насколько я знаю, не использовал коническую печать.
Во всех случаях важный момент — привести две поверхности в контакт, что бы вы ни делали. Либо вы двигаете матрицу, либо катите бумагу (плоскую поверхность).
Как показано на рисунке (34), вы можете использовать коническую матрицу, чтобы напечатать что-нибудь на плоскости. Некая коническая газета, положенная плашмя.
(34)
Вовсе не точно, что никто когда-нибудь это не использует. Предположим, вы хотите производить платья со специальным узором, соответствующим конической симметрии. Предположим, вам нужно произвести тысячи таких платьев. Вы могли бы выгравировать исходный узор на конической матрице, а затем использовать её для печати на материале или ткани. Покупатель мог бы купить его и сшить «коническое» платье, будучи уверенным, что полученный узор будет хорош повсюду.
На рисунке (35) показано, что вы получите, если будете печатать матрицей отрицательной кривизны. Справа негакон, положенный плашмя.
(35)
На рисунке (36) показано, как соединить лошадиное седло с частью негакона.
Кстати, вы можете спросить:
- Как мне измерить отрицательную угловую кривизну, содержащуюся в моём лошадином седле?
В некоторых местах Техаса, близ математических факультетов, когда вы покупаете лошадиное седло, соответствующая угловая кривизна указывается на прилагаемом чеке. Если нет, то, сравнивая периметр границы или площадь с евклидовым значением, вычисленным по радиусу этого диска отрицательной кривизны, вы можете вывести соответствующую угловую кривизну. Считайте это полезным упражнением.
(36)
(37)
Теперь мы можем использовать нашу липкую ленту, чертить геодезические и проецировать это на плоскость, как показано на рисунке (38).
(38)
Как обычно, эта проекция на плоскость отсылает к нашему «ментальному миру», к стене платоновской пещеры. Вид спроецированной геодезической означал бы для нас, что на наши эталонные объекты действует некая отталкивающая сила, например отталкивающая гравитационная сила. На самом деле всё это должно происходить из лежащей в основе геометрии.
