| 7 |
Сопряжённые геометрии.
Теперь мы можем связать тупой позикон и тупой негакон.
Обращённые друг к другу: участок сферы и седло, с противоположными
угловыми кривизнами + q
и - q. У нас есть взаимно однозначное
соответствие точек (инъективное отображение). На рисунке (39) изображена пара сопряжённых
точек.
Мы называем сопряжёнными геометриями две геометрические структуры,
связанные взаимно однозначным соответствием точек, такие, что плотности локальной кривизны противоположны.
Это имеет место для участка сферы и соответствующего седла. То же самое относится к участку позикона, обращённому к участку
негакона. Их плотности локальной угловой кривизны равны нулю.
(39)
Положительная кривизна в складке F полностью содержится
в участке сферы. Участок позикона представляет собой евклидову поверхность,
которая «локально плоская». В другой складке F*, сопряжённой складке, вся
(отрицательная) угловая кривизна содержится в седле. Снаружи
участок негакона «локально плоский», он не содержит кривизны.
Заметим, что по заданной складке можно построить другую.
Общая теория относительности.
Основная идея состоит в том, что локальное содержание «материи-энергии»
определяет локальную геометрию, формирует гиперповерхность пространства-времени. Заметим,
что составное слово «материя-энергия» показывает, что любое содержание определяет
геометрию вселенной: материя и излучение. В предыдущем
разделе мы упоминали тот факт, что фотоны вносят вклад в (положительную) кривизну.
Сегодня вклад космического фона пренебрежимо мал. Вклад материи
в геометрию доминирует. Но в далёком прошлом ситуация была обратной:
в Стандартной модели, когда t < 500 000 лет.
Поищем некоторую дидактическую модель, чтобы представить
основные понятия общей теории относительности. Займёмся стационарными системами.
Рассмотрим плоскую поверхность без внутренних напряжений. Мы можем изменить её геометрию,
если введём локальные напряжения. Мы можем ввести положительное или отрицательное натяжение
(тензор напряжений). Например, если я нагрею пластиковую плёнку, я создам пузырь
(эффект положительной кривизны).
Я также могу пропитать материал веществом, которое,
высыхая, вызовет локальное растяжение (эффект отрицательной кривизны).
Котельщик умеет использовать нагрев и охлаждение,
чтобы придать форму металлической поверхности, например, банке, побывавшей в аварии.
Возьмём простую металлическую трубку. Нагреем её с одной стороны
и охладим с противоположной. Что произойдёт?
(40)
Напряжение изогнёт трубку, как показано на рисунке (41).
(41)
Мы ввели напряжения в металл. Это
происхождение слова «тензор» в математике, сопротивлении материалов и геометрии.
Специалист по сопротивлению материалов будет говорить в терминах тензора напряжений. Геометр будет ссылаться на тензор
кривизны. Специалист
по общей теории относительности применит основной принцип:
локальное содержание энергии-материи
<-------> локальная геометрия
Конечно, это локальное содержание энергии-материи определяет
локальную геометрию 4-мерной гиперповерхности. Но идея аналогична.
Как это записать? Используя то, что математики называют тензорами.
Трудно продвинуться дальше в этом направлении, не
разработав полный курс дифференциальной геометрии. Знаменитое
уравнение Эйнштейна:
(42)
S = c
T
c — простая константа (называемая
постоянной Эйнштейна). Она зависит от значений двух других констант:
-
Скорости света c.
-
Гравитационной постоянной G.
через:
(42bis)
S — геометрический тензор, и он берёт на себя
геометрические особенности.
T — другой тензор, который описывает локальное содержание
вселенной. В этом тензоре вы найдёте плотность материи r
и давление p. Они выражены как плотности энергии.
r c2
является плотностью энергии
Но p также является плотностью энергии. Обычно давление выражают
в паскалях на квадратный метр. Но паскаль на квадратный метр — это также
джоуль на кубический метр. Давление по сути является объёмной плотностью энергии.
Поля
r (x,y,z) и p
(x,y,z)
для стационарной системы образуют вход задачи.
Из этих скалярных полей мы можем построить тензор T. Тогда вопрос
становится таким:
- Какая геометрия соответствует такому тензорному полю
T (x,y,z), которое удовлетворяет уравнению (42)?
Учитывая локальное содержание Вселенной, теоретик
должен построить локальную геометрию гиперповерхности пространства-времени. Но зачем
?
Здесь используется вторая основная гипотеза:
- Все объекты, составляющие нашу вселенную, следуют
геодезическим гиперповерхности пространства-времени.
Объектом может быть звезда, планета, атом, фотон,
элементарная частица.
Появляются ли частицы из полевого уравнения? Вовсе нет. Общая теория относительности
их полностью игнорирует. Для специалиста по общей
теории относительности вселенная — это континуум, и ничего больше. Входные функции
r и p соответствуют
макроскопическому описанию вселенной. То же самое для выхода: геодезическая
система. Для теоретика общей теории относительности Вселенная — это гиперповерхность,
и ничего больше. Он говорит:
- Вы дали мне функции r (x,y,z)
и p (x,y,z). Я построил
для вас адекватную гиперповерхность, которая подчиняется полевому уравнению. Я
определил все возможные пути: геодезическую систему. Но я совершенно
не способен построить для вас частицы. Извините. Обратитесь в другой отдел.
Подводя итог: мост между общей теорией относительности и
миром элементарных частиц всё ещё ждёт своего строителя.
Но астроном скажет:
- Кому какое дело? Предполагается, что фотоны следуют
по особым геодезическим этой гиперповерхности. Это работает: я могу наблюдать вещи с
помощью оптических приборов. Предполагается также, что планеты следуют другому виду геодезических.
Это тоже работает. Я могу вычислять их пути, предсказывать прецессию перигелия Меркурия.
Есть также эффект гравитационной линзы.
Он прав.
Несколько слов об этом гравитационном эффекте. Прежде всего,
этот образ тупого конуса — простая дидактическая картинка. Например, он не может
описать круговые пути планеты вокруг звезды:
(43)
Это просто показывает предел дидактических образов. Но мы
можем использовать этот последний пример, чтобы проиллюстрировать эффект гравитационной линзы, с
двумя геодезическими:
(44)
Ниже — мысленное, евклидово представление пространства.
Возникает эффект миража. Вместо одного объекта наблюдатель видит два «гравитационных
миража».
