Координатно-инвариантный формализм.
Это ещё одно ключевое слово общей теории относительности. Мы сказали, что работа космолога была эквивалентна той, которая состоит в предсказании формы материала, обусловленной внутренним напряжением.
Возьмите объект, топология которого — сфера. Это сфера из металла. Здесь снова мы могли бы придать ей форму с помощью потоков горячего и холодного воздуха.
(45)
Эти потоки создают напряжение в металле, которое изменяет его форму. Конечно, по мере распространения тепла в металле, если прекратить нагрев и охлаждение, температура сферы возвращается к однородности, и её вид снова становится правильным.
Мы создаём напряжение в материале, которое изменяет его геометрию.
Это поле напряжений может быть описано математическим объектом, называемым тензором T.
Геометрия объекта могла бы быть вычислена из полевого уравнения, аналогичного уравнению Эйнштейна.
(46)
S = a T
где a — константа, а S — геометрический тензор, который описывает геометрические особенности.
Лучший способ «прочитать» решение — вычислить геодезическую систему. Мы знаем геодезические сферы, но геодезические яйца другие. Чтобы выразить эти геодезические, нам нужна система координат. Для сферы мы можем использовать систему (q,j):
(47)
В этой особой системе координат геодезическая сферы может быть выражена в особой форме. Например, кривые:
q = константа (меридианы)
являются геодезическими. Но кривые
j = константа (параллели)
не являются геодезическими кривыми этой поверхности.
Мы могли бы определить аналогичную систему координат на поверхности «яйцо». Но кое-что очевидно: геодезическая система существует независимо от её математического представления (в данной, особой системе координат).
Геодезическая система координатно-инвариантна.
Другой пример гораздо проще. Рассмотрим геодезические плоского листа. Это прямые линии. Мы можем описать эти прямые линии в декартовых координатах:
(48)
Мы также можем описать это семейство геодезических в полярных координатах. Тогда уравнения совершенно другие, но они относятся к тому же семейству прямых линий. Эти прямые линии, геодезические плоского листа, существуют независимо от выбранных координат. Они являются координатно-инвариантными объектами.
Уравнения не являются внутренним атрибутом.
Это что-то, что не меняется, когда мы переходим от одной системы координат к другой?
Да: геодезический путь между двумя точками M1 и M2 не меняется. То же самое для любой линии, нарисованной на поверхности. Поверхность, точки, кривая, которая их соединяет, существуют независимо от выбранных координат. То же самое для длины пути между M1 и M2. Это также верно для геодезической дуги, которая является особой линией, соединяющей две точки:
(49)
Кстати, этот геодезический путь также является экстремальным путём (например, кратчайшим, показанным здесь).
Это аналогично для гиперповерхности пространства-времени, которая обладает своей системой геодезических, также координатно инвариантной. На этой гиперповерхности существует длина s, которая принадлежит объекту и независима от выбранной системы координат.
Трудность в том, что пространство и время не являются независимыми величинами. Мы не живём в 3-мерном пространстве с точками (x, y, z). Мы принадлежим 4-мерной гиперповерхности, которая полностью описывается своей системой геодезических. Рассмотрим две различные точки этой гиперповерхности M1 и M2.
Такие точки могут быть описаны в данной системе четырёх координат:
M1 ---> (x1 , y1 , z1, t1 )
M2 ---> (x2 , y2 , z2, t2 )
Эти точки называются событиями. Мы можем вычислить геодезическую кривую, которая их соединяет, если она есть. Такие события не идентичны. Между ними мы можем измерить расстояние s, которое координатно-инвариантно. Эта длина называется:
собственное время s
Предположим, вы и я используем космический корабль, чтобы путешествовать из точки M1 в другую точку M2, расположенную в пространстве-времени.
s — это мера времени на наших бортовых часах.
Вы возразите:
- Но пространство существует, нет?
- Будьте осторожны. Это определение того, что мы называем пространством и «абсолютным временем», соответствует произвольному выбору. Это лишь удобный способ «прочитать» поверхность, как когда мы записывали уравнение прямых линий на плоском листе в виде двух разных уравнений. Единственное, что не меняется, что координатно-инвариантно, — это интервал собственного времени Dt между двумя событиями, связанными другим координатно-инвариантным объектом: геодезической линией. Так называемое «абсолютное время» t — не что иное, как несколько произвольный хронологический маркер.
Меняя систему координат, вы меняете прочтение событий. В статьях, которые мы представим на этом сайте, вы увидите, что это реальная проблема.
Так или иначе, вы понимаете, почему физики и математики выбрали координатно-инвариантный формализм, основанный на тензорах.
Тензорные уравнения координатно-инвариантны.
Это дух общей теории относительности. Но, кроме использования сложного оборудования, трудно рассказать вам об этом больше.
