| 10 |
Напротив, на поверхностях существуют настоящие внутренние сингулярности.
Это истинные геометрические сингулярности:(55)
(56)
(57)
И так далее...
Кстати, складка — это особый участок поверхности, где сосредоточена
линейная кривизна. На рисунке (57) слева у нас отрицательная
линейная кривизна. Справа — положительная линейная кривизна.
В каждом подрисунке мы использовали два фрагмента сферы.
Глобальный объект имеет ту же топологию, что и сфера, а значит, его полная
угловая кривизна равна 4π
.
Предположим, объект слева был построен из двух фрагментов
сфер, каждый из которых содержит угловую
кривизну 3π.
3π +
3π = 6π
Это слишком много. Тогда (отрицательная) линейная кривизна
должна это уравновесить, чтобы дать итоговое требуемое значение 4π
:
В заключение наша складка содержит отрицательную кривизну
:
- 2π
.
Эта кривизна равномерно распределена вдоль круговой
кривой, вдоль складки.
Вернёмся к рисункам (57). Мы начертили треугольники,
построенные из геодезических линий. Но через складку можно без всяких проблем
пройти (узкой) липкой лентой. Вы знаете, как вычислить и предсказать сумму
трёх углов треугольника. Вам нужно лишь сравнить площадь
треугольника с площадью сферы. Избыток кривизны равен:
(58)
Но вы должны учесть (отрицательную или положительную)
кривизну, содержащуюся в участке складки, в дуге mn. Она равна:
(59)
Предположим, некая разновидность линзы справа на рисунке (57)
построена из двух фрагментов сферы, каждый из которых содержит угловую
кривизну π
. Следовательно, если забыть о складке, этот набор из двух фрагментов
сферы содержит угловую
кривизну 2π
. Но эта линза имеет сфероидную топологию. Вклад угловой кривизны
должен быть 2π.
Тогда:
2π +
2π = 4π
( полная кривизна сферы )
Вы также можете предсказать сумму этого странного треугольника,
образованного тремя геодезическими линиями. Дуга mn содержит линейную угловую кривизну
:
(60)
Измеряя величину угловой кривизны, содержащейся
в складке, внутри треугольника, можно оценить отклонение от евклидовой
суммы, которая равна π .
Вы видите, что с этими задачами о кривизне
на поверхностях можно справляться относительно легко.
Поверхность может иметь конические точки или линии складок. Это
внутренние сингулярности, а не те искусственные сингулярности, обусловленные некоторым
выбором координат. Заметим, что складку можно сгладить. Тогда мы получим арахис
:
(61)
Это аналогично сглаживанию точечной вершины
конуса (сосредоточенной угловой кривизны), превращающему объект в притуплённый
конус (угловая кривизна, распределённая по участку сферы).
Предположим, два фрагмента сферы выше, на рисунке (61),
представляют собой по 2/3 сферы каждый, то есть кривизну
(62)
Серая часть «арахиса» содержит отрицательную кривизну.
Точнее:
(63)
