| 11 |
Репрезентативное пространство.
В предыдущем разделе мы видели, что цилиндр можно расплющить. Теперь возьмите лист бумаги, плоский лист. Это евклидова поверхность. Вы можете чертить на нём геодезические. Теперь скомкайте его.
(64)
Если бы вы могли сделать эту скомканную поверхность жёсткой и чертить на ней геодезические с помощью липкой ленты, вы снова встретили бы ту же самую систему! Поверхность на самом деле не изменилась. Если какой-нибудь обитатель живёт в такой «плоской стране», он, возможно, не может осознать процесс сминания. Всё оставалось бы для него нормальным, какой является жизнь для него сегодня: следование геодезическим его двумерной пространственно-временной поверхности, например.
Сминая лист, вы всего лишь изменили репрезентативную систему, способ, которым двумерная поверхность вложена в трёхмерное евклидово пространство.
Более простое изменение — превратить плоский лист металла в гофрированную поверхность. См. рисунок (65)
(65)
Много лет назад я был на большом рынке в Аддис-Абебе, Эфиопия. Там металл — редкость. Вы находите мастерские, где молодые люди превращают гофрированные железные поверхности в плоские пластины с помощью простого молотка. Если бы один из них начертил геодезическую до операции, мы обнаружили бы, что система геодезических осталась бы неизменной.
Но, честно говоря, я не совсем уверен, что такого рода парень знает, что такое геодезическая, с математической точки зрения, конечно. Любой человек, плетущий корзины, естественно использует геодезические линии.
Помню, я был преподавателем плетения корзин в летнем лагере неподалёку от Берлингтона и озера Шамплейн, Вермонт... много лет назад.
Помните, что геометрические объекты имеют собственное существование и свойства, независимые от того, как вы их изображаете, в пространстве с большим числом измерений. Скомканный или нет, лист есть лист, то есть евклидова поверхность.
Предполагается, что мы живём в четырёхмерной гиперповерхности. Мы все, кстати, предположительно живём одинаково. Но моя жена Клэр, очень очаровательная особа, убеждена, что я живу в пространстве большего числа измерений (пяти, по её мнению). Это иногда создаёт трудности в общении, когда я нахожусь где-то в своём личном пятом измерении.
Но действительно ли женщины живут в четырёхмерной гиперповерхности? Иногда я в этом сомневаюсь, но это другая тема.
Допустите, что вы живёте в четырёхмерной гиперповерхности и следуете геодезическим этого пространства-времени, которым вы следуете, как вол, идущий за своей бороздой.
Теперь предположите, что вы Бог. Вы хотите полное представление этой четырёхмерной гиперповерхности. Тогда вам нужно как минимум ещё одно измерение. Лично я думаю, что если Бог существует, он должен жить в десятимерном гипермире. Последующие аргументы будут развиты в «Геометрической физике B» и происходят из теории групп.
Обладает ли Бог групповой структурой?
Практически специалист по общей теории относительности вычисляет решение уравнения поля (решение Эйнштейна). Затем он исследует систему геодезических. Это «прямые четырёхмерные линии». В пространстве-времени, когда вы следуете геодезическим, общее правило таково:
- Иди прямо! Не поворачивай налево или направо.
Вы подчиняетесь просто потому, что не можете делать что-то другое. Поворот — бессмыслица в пространстве-времени. Всё, каждый «идёт прямо».
Но вещи, пути, траектории выглядят искривлёнными для наших трёхмерных глаз. Мы читаем это в нашем мысленном пространственном представлении. Мы стоим лицом к стене пещеры Платона, глядя на танцующие трёхмерные тени.
Вернёмся к нашему двумерному дидактическому образу, к тупому конусу. Предполагается, что он изображает пространство в окрестности концентрации массы (серая область). Мы предполагаем, что это соответствует стационарному состоянию.
Мы можем использовать сферические координаты (r, q, j) как пространственные маркеры (в 3d). В 2d у нас есть только две: (r, q).
Тогда мы можем спроецировать фигуру на плоскость и использовать тот же набор полярных координат. См. следующий рисунок.
(66)
Как сказано выше, поверхность тупого конуса — грубая дидактическая модель, намекающая на особое решение уравнения поля Эйнштейна
(67)
S = c T
построенное в 1917 году Шварцшильдом. Это блестящая и умная работа. Просто чтобы сказать, что в то время Альберт не был одиноким гением, затерянным на необитаемом острове. Многие думают, что великий немецкий математик Гильберт изобрёл «уравнение Эйнштейна». Некоторые другие предполагали, что мадам Эйнштейн могла эффективно способствовать построению специальной теории относительности, которая естественно вытекает из работ Пуанкаре и Лоренца (если вы посмотрите на работы Эйнштейна, вы увидите, что он редко упоминает других людей).
Решение Шварцшильда — веха общей теории относительности. Его используют для вычисления релятивистских траекторий планет вокруг Солнца, выявляя прецессию перигелия Меркурия.
Любой сразу сказал бы:
- Почему Шварцшильд не вычислил это сам?
На то была очень веская причина: он был мёртв.
Шварцшильд был патриотом и настоял на отправке на фронт в 1917 году. Там он был отравлен газом и позже умер. Эйнштейн продолжил работу, которая стала «теорией Эйнштейна».
Это было стационарное решение. Позже Эйнштейн попытался построить модель вселенной, где кривизна могла бы отождествляться с содержанием энергии-материи. Но в то время никто не знал, что вселенная нестационарна. Альберт пытался построить стационарную модель, но дела шли не так хорошо. Затем он посетил Эли Картана, великого французского математика, который рекомендовал добавить константу в уравнение поля, что Эйнштейн и сделал.
Затем русский пилот планера по имени Фридман изобрёл нестационарное решение. Примерно в тот же период Эдвин Хаббл обнаружил красное смещение и нестационарные особенности Вселенной. Эйнштейн был очень разочарован и сказал:
- Если бы я знал, что Вселенная нестационарна, я нашёл бы решение раньше Фридмана!
«Если бы», — говаривали лакедемоняне.
Но эта история на этом не закончилась. Первоначально Фридман построил циклическое решение, одно из трёх, составляющих «модели Фридмана».
Эйнштейн молчал годами. Затем, после смерти Фридмана, он опубликовал «модель Эйнштейна — де Ситтера», «параболическое решение Фридмана».
Позже молодой польский исследователь по имени Калуца представил статью «профессору Эйнштейну», который отказывался публиковать её более года. Калуца пожаловался Эйнштейну, который ответил:
- Вам следует внимательнее присмотреться к этой теории. Я скептичен.....
Много лет спустя идея Калуцы (добавление пятого измерения к пространству-времени) стала отправной точкой передовых работ (включая подход суперструн). См. «Геометрическую физику B».
Что ж, Альберт был не таким уж спортсменом......
Вернёмся к стационарной трёхмерной модели, соответствующей геометрии пространства-времени вокруг Солнца. Расчёт даёт геодезические, расположенные в плоскостях. Если эффект кривизны умеренный, а скорость мала по отношению к скорости света c, их проекция в репрезентативном евклидовом пространстве-времени соответствует квазикеплеровским путям и законам Кеплера. Мы можем забыть о времени и изобразить эти геодезические в плоскостях, используя полярные координаты.
r = f (q).
В решении Шварцшильда на самом деле есть два связанных «метрических решения», как показано на рисунке (68). Внутри «массивного тела» плотность массы r предполагается постоянной. Там тензор энергии-материи T ненулевой. Но снаружи r и T равны нулю.
(68) 
Это составная геометрия. В 3d плотность массы показывает резкий разрыв на поверхности (предполагаемой сферой) «концентрации массы». Это аналогично разрыву плотности угловой кривизны на поверхности (ненулевой в серой области, нулевой снаружи. Граница становится сферой S1, то есть... окружностью).
В 4d математическая связь может быть построена так, чтобы обеспечить непрерывность геодезических линий. Это аналогично связующему участку сферы — участка позиконуса.
Когда масса становится значительной (что не может быть описано нашей грубой двумерной дидактической моделью), замкнутые пути перестают быть эллиптическими.
См. рисунок (69). Этот рисунок соответствует траектории космического аппарата вокруг нейтронной звезды.
Траектория Меркурия вокруг Солнца аналогична, но прецессия перигелия эллиптических путей составляет 0,15° за столетие.
(69) 
Когда-нибудь мы включим формулы и программу, которые позволят играть с этой задачей. Это не очень трудно.
Некоторые математические сведения в конце этой страницы и на следующей; если хотите, можете перейти сразу к странице 13
